Công thức tính hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp đầy đủ

Nhiều người khi tiếp xúc công thức điều chỉnhhoán vị và tổ hợp sẽ bị nhầm lẫn về mặt khái niệm, cũng như việc phân biệt công thức chính xác. Vì vậy, Thác Trầm Hương Mobile biên soạn bài viết này để giải thích rõ hơn về 3 công thức toán học trên. Ngoài ra, chúng tôi còn có ví dụ minh họa trong từng công thức để giúp bạn hiểu rõ hơn.

Hoán vị là gì?

Hoán vị là một khái niệm quan trọng trong toán học và lý thuyết đồ thị. Nó được sử dụng để mô tả cách các phần tử của một tập hợp có thể được sắp xếp lại hoặc hoán đổi với nhau để tạo ra sự thay đổi trong cấu trúc ban đầu. Đây là một khía cạnh của lý thuyết tổ hợp, nghiên cứu sự sắp xếp, kết hợp và lựa chọn các phần tử trong một tập hợp hữu hạn.

Hoán vị của một tập hợp các phần tử được sắp xếp theo một thứ tự cụ thể. Sự khác biệt giữa hoán vị và các khái niệm khác như tổ hợp và chín phần tử còn lại của một tập hợp là mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần trong mỗi hoán vị. Điều này tạo ra số lượng hoán vị khác nhau tùy thuộc vào số lượng phần tử trong tập hợp.

Ví dụ: ta có tập hợp A gồm N phần tử có N lớn hơn hoặc bằng 0. Mỗi cách sắp xếp N phần tử ở một vị trí cụ thể sẽ gọi là một hoán vị của N phần tử. Số hoán vị tương ứng của N sẽ được ký hiệu là Pn.

Sự kết hợp là gì?

Trong bộ 3 công thức điều chỉnhtổ hợp và hoán vị thì tổ hợp và hoán vị có những khái niệm khá giống nhau. Chính vì vậy mà nhiều người hiểu sai và áp dụng sai phép tính. Hiểu được điều này, Thác Trầm Hương Mobile đã biên soạn ra khái niệm chính xác về sự kết hợp.

Trong đó, tổ hợp là cách các phần tử có thể được sắp xếp, kết hợp và chọn lọc từ một tập hợp hữu hạn để tạo ra các cấu trúc mới. Hay nói cách khác, đây là cách chúng ta chọn các phần tử từ một tập X lớn mà không phân biệt vị trí của chúng. Đặc biệt với một số trường hợp ngoại lệ, bạn còn có thể đếm số lượng kết hợp.

Hơn nữa, trong tổ hợp, các khái niệm như tổ hợp chập k và tổ hợp nhị thức đều đóng vai trò quan trọng. Phép chập k mô tả cách chọn k phần tử từ một tập hợp. Trong khi các kết hợp nhị thức thường được sử dụng để đếm số cách khác nhau mà một sự kiện có thể xảy ra.

Áp dụng vào toán học, sẽ dễ hình dung hơn khi ta nói mỗi tập con chứa k phần tử với a > 0 sẽ được coi là tổ hợp chập của a.

Căn chỉnh là gì?

Tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết hơn về khái niệm này công thức điều chỉnh trong toán học. Sự cộng hưởng mô tả cách các phần tử trong một tập hợp có thể được chọn và sắp xếp theo một thứ tự cụ thể để tạo ra các cấu trúc khác nhau. Không giống như hoán vị, sự phù hợp không yêu cầu sử dụng tất cả các phần tử mà chỉ một phần trong số chúng. Hợp chung thường được ký hiệu là A(n,k), trong đó n là số phần tử trong tổ hợp và k là số phần tử được chọn.

Công thức toán học về sự phù hợp có nhiều ứng dụng thực tế. Ví dụ, trong mật mã, nó có thể được sử dụng để xác định số lượng khóa mã hóa khác nhau. Trong quản lý dự án, sự liên kết có thể được áp dụng để xác định một số cách khác nhau để lên lịch công việc hoặc xếp hàng các nhiệm vụ. Ngoài ra, trong lĩnh vực xác suất, sự sắp xếp thường xuất hiện khi xem xét các sự kiện có thứ tự cụ thể.

Các công thức về sự phù hợp, hoán vị và kết hợp có liên quan như thế nào?

Với concept mà Thác Trầm Hương Mobile vừa chia sẻ, chúng ta thấy được sự kết nối sâu sắc giữa sự kết hợp, hoán vị và hài hòa. Theo đó, tích chập k của n sẽ được hình thành dựa trên hai phép xác định cơ bản.

(1) Trước tiên, bạn cần lấy tích chập của n phần tử.

(2) Sau đó, bạn sẽ hoán vị k phần tử để tạo thành tích chập ak của n.

Có thể nói, những điều này công thức điều chỉnhcác hoán vị, tổ hợp sẽ xuất hiện thường xuyên trong các bài toán phổ thông. Đặc biệt, nó còn được đưa vào đề thi tốt nghiệp THPT những năm gần đây. Vì lẽ đó, bạn cần hiểu rõ hơn về bản chất cũng như công thức áp dụng vào từng trường hợp khác nhau.

Hướng dẫn quy tắc đếm hoán vị, tổ hợp, tổ hợp đơn giản nhất

Tiếp nối nội dung, Thác Trầm Hương Mobile sẽ chia sẻ đến các bạn một bộ quy tắc đếm cực kỳ quan trọng để sử dụng cho các công thức hoán vị, tổ hợp và căn chỉnh. Đặc biệt, mỗi khái niệm sẽ có quy tắc tính khác nhau. Vì vậy, đừng bỏ qua nội dung quan trọng này.

Quy tắc tính hoán vị

Như chúng ta đã biết, hoán vị mô tả một tập hợp gồm k phần tử. Do đó, từ tập k phần tử này chúng ta có thể thiết lập hoán vị của một phần tử bằng hai thao tác siêu đơn giản.

(1) Đầu tiên bạn sẽ chọn phần tử đầu tiên và cộng tổng n cách.

(2) Sau đó bạn sẽ chọn phần tử tiếp theo và thực hiện công thức (n-1) bằng cách sắp xếp hoán vị.

(3) Tiếp tục như vậy, chúng ta sẽ tiến hành phân tích các phần tử tiếp theo và áp dụng công thức tổng quát: (a-1).

Lưu ý: Có một số trường hợp đặc biệt khi n = a, ta sẽ áp dụng công thức khác để tính số hoán vị không giống nhau: P(n) = n!. Nếu trong trường hợp a < n thì số hoán vị sẽ được tính theo công thức: P(n,a) = n!(na)!.

Quy tắc tính tổ hợp

Trước khi bạn muốn biết cách tính toán công thức điều chỉnhhoán vị và tổ hợp, bạn phải hiểu quy tắc đếm của nó. Và tiếp tục bài viết chúng ta sẽ tìm hiểu về các quy tắc đếm tổ hợp. Có thể nói tổ hợp có cách tính đơn giản nhất và ai cũng có thể làm được khi đọc qua chia sẻ của chúng tôi.

Chúng ta sẽ có một tổ hợp X gồm n phần tử với n lớn hơn 0. Tiếp theo, chúng ta sẽ có một tổ hợp chập k với bất kỳ phần tử nào thuộc tổ hợp đó đều thỏa mãn các điều kiện về X; 0  k  n ; k ∈ n. Từ đây ta sẽ thu được công thức cho quy tắc đếm tổ hợp theo n!(nk)!.

Quy tắc đếm phù hợp

Có thể nói công thức tính hoán vị là công thức tổng quát cho cả sự kết hợp và sự phù hợp. Vì vậy, nếu hiểu rõ về hoán vị thì việc tính tổ hợp, tổ hợp cũng rất đơn giản. Cụ thể trong phần này là thủ thuật đếm sự phù hợp.

Quy tắc đếm căn chỉnh được mô tả bằng một tập X lớn có n ≥ 1, n là số phần tử trong tập đó, k là số phần tử được chọn và sắp xếp. Kèm theo đó là hàng loạt các điều kiện về 1  k  n ; k ∈ n. Từ đây ta sẽ có được công thức tính sự phù hợp theo n!k!(nk)!.

Các công thức căn chỉnh, tổ hợp, hoán vị và ví dụ minh họa

Sau khi chúng ta đã học xong những phần “cạnh” của lý thuyết thì sau đây là nội dung quan trọng nhất của bài viết này. Bạn đọc hãy cùng Thác Trầm Hương Mobile ghi nhớ các công thức tính hòa, tổ hợp và hoán vị nhé. Tất nhiên “học đi đôi với hành” và chúng tôi cũng chia sẻ với các bạn một vài ví dụ minh họa cụ thể.

Công thức hoán vị

Công thức tính hoán vị của n phần tử phải nói là vô cùng đơn giản. Chúng ta đã biết ký hiệu hoán vị là P(n). Như vậy chúng ta sẽ được công thức tính hoán vị: P(n) = n!. Trong đó, n! biểu thị giai thừa của nk, tức là tích của tất cả các số nguyên từ 1 đến n.

Ví dụ: Bài toán của ta là có một tập hợp gồm 4 phần tử X = {A, B, C, D} = {4, 3, 2, 1}. Vậy từ tập X ta có thể tạo được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?

Trả lời: Bạn đọc hãy áp dụng công thức P(n) = n nhé! = P(4) = 4! = 4×3×2×1= 24. Suy ra, ta sẽ có 24 cách sắp xếp các phần tử khác nhau của tập X.

Công thức kết hợp

Công thức tổ hợp sẽ tương đối khó hơn công thức điều chỉnh và hoán vị. Cụ thể, công thức tính tổ hợp n phần tử chọn k phần tử, ký hiệu là C(n,k) là: C(n,k) = n! / (k!(nk)! = (n(n-1)(n-2)…(n-k+1))/k!. Trong công thức này, n! biểu thị giai thừa của n, k! là giai thừa của k và (nk)! là giai thừa của nk.

Ví dụ: nếu bạn có một bộ gồm 5 phần tử {A, B, C, D, E} = {5, 4, 3, 2, 1} và bạn muốn chọn 3 phần tử thì số cách kết hợp của chúng là :C( 5,3) = 5! / 3!(5−3) = (5×4×3) / (3×2×1) = 10.

Công thức điều chỉnh

Công thức tính sự đồng đẳng cũng khá đơn giản, bạn chỉ cần đọc và hiểu số liệu trong bài toán có n phần tử, chọn k phần tử và sắp xếp chúng theo một thứ tự cụ thể. Đồng thời, bạn sẽ áp dụng công thức phù hợp mà chúng tôi cung cấp A(n,k) = n! / (nk)! = n(n-1)(n-2)…(n-k+1).

Ví dụ: Bài toán cho tập hợp gồm 6 phần tử {A, B, C, D, E, F} = {6, 5, 4, 3, 2, 1} và bạn muốn chọn 4 phần tử và sắp xếp chúng. chúng theo một thứ tự cụ thể thì số phù hợp của chúng là: A(6,4) = 6! / (6-4)! = (6×5×4×3×2×1) / (2×1) = 360. Do đó, có 360 cách để chọn và sắp xếp 4 phần tử từ bộ này.

Kết luận

Như vậy Thác Trầm Hương Mobile đã chia sẻ đến các bạn mẹo tính toán công thức điều chỉnhsự kết hợp và hoán vị. Những công thức này không quá khó áp dụng nhưng bạn cần hiểu rõ bản chất và phân biệt được từng công thức khác nhau.

Xem thêm:

• Công thức tính thể tích khối tròn và ví dụ minh họa
• Công thức tính chu vi hình tứ giác: Lý thuyết, phương pháp toán và bài tập có lời giải