Công thức tính nhanh thể tích khối chóp – Tính toán dễ dàng và hiệu quả

Thể tích hình chóp là kiến ​​thức cơ bản mà học sinh lớp 12 cần nắm để học tốt Hình học. Các bài toán về kim tự tháp cũng xuất hiện rất nhiều trong các kỳ thi THPT quốc gia nên các em cần ôn tập kỹ và làm bài tập thường xuyên để nắm vững kiến ​​thức. Bài viết dưới đây sẽ chia sẻ thêm về kim tự tháp và công thức tính nhanh thể tích của nó.

Khái niệm kim tự tháp và một số tính chất

Trước khi tìm hiểu thể tích của kim tự tháp, mọi người cần tìm hiểu về kim tự tháp. Đây là một dạng hình học bao gồm một bề mặt đáy là một đa giác có các mặt bên là các tam giác đều có một đỉnh chung. Đây cũng là đỉnh của kim tự tháp. Độ cao trong hình chóp là một đường thẳng có thể đi qua đỉnh và tạo thành một góc vuông với đáy.

Hiện nay, có hai loại kim tự tháp phổ biến và tên gọi phụ thuộc vào hình dạng của mặt phẳng đáy. Đó là hình chóp tứ giác và hình chóp tam giác. Ngoài ra, kim tự tháp còn có một số tính chất mà bạn cần hiểu như sau:

• Một hình chóp gồm các cạnh có chiều dài bằng nhau thì chân đường cao trong hình chóp là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
• Hình chóp bao gồm các mặt bên được đặt ở cùng một góc với đáy. Đáy của chiều cao của kim tự tháp là tâm của đường tròn nội tiếp trong đa giác đáy.
• Hình chóp gồm một mặt tạo thành một góc vuông với mặt đáy thì chân chiều cao của kim tự tháp là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh kim tự tháp xuống cạnh đáy ở cạnh này.
• Nếu hai mặt bên của hình chóp vuông góc với mặt đáy thì giao tuyến của hai mặt này cũng vuông góc với mặt đáy.

Công thức dùng để tính nhanh thể tích của kim tự tháp

Thể tích của một kim tự tháp bây giờ có thể được tính nhanh chóng bằng công thức:

V = 1/3 x S x h.

Trong đó:

• S: Diện tích mặt phẳng đáy
• h: Chiều cao của kim tự tháp.

Một số dạng tính thể tích kim tự tháp phổ biến và bài tập ứng dụng

Hiện nay có rất nhiều dạng toán liên quan đến tính thể tích của hình chóp vì đây là dạng hình học đặc biệt. Dưới đây là một số dạng tính V phổ biến của kim tự tháp, cùng với các bài tập liên quan. Sinh viên có thể tham khảo:

Dạng tính hình chóp V có cạnh ⊥ có đáy

Để nhận biết dạng bài toán tính thể tích này, bạn cần xem xét kỹ kim tự tháp mà bài toán đưa ra. Nếu hình chóp đó có 2 cạnh và đồng thời ⊥ đáy và chiều cao của hình chóp cũng là giao điểm của 2 cạnh đó thì ta sẽ áp dụng công thức giải này.

Để tính chiều cao của kim tự tháp, hãy sử dụng định lý sau:

Để hiểu rõ hơn cách tính V của hình chóp này, mời các bạn xem bài tập minh họa sau: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác ABC vuông tại B, mặt phẳng có tên SBC ⊥ với mặt phẳng có tên ABC, BC = 4a , BA = 3a. Chứng minh rằng góc SBC là 30 độ và SB là 2a√3. Tính thể tích hình chóp S.ABC.

Trả lời:

Vẽ đường thẳng SH sao cho ⊥ với BC (H phải nằm trên cạnh BC). Sau đó chúng ta có:

• Mặt phẳng SBC ⊥ với mặt phẳng ABC
• BC là giao điểm của mặt phẳng SBC với mặt phẳng ABC
• SH vuông góc với BC
• SH nằm trong mặt phẳng SBC

→ SH vuông góc với mặt phẳng ABC

Tiếp theo, xét tam giác SHB vuông tại H, ta có:

• SH = SB x sin của góc SBC = 2a√3 x sin30 = a√3
• Diện tích tam giác ABC = 1/2 x BA x BC = 1/2 x 3a x 4a = 6a^2
• Thể tích hình chóp S.ABC = 1/3 x SH x Diện tích tam giác ABC = 1/3 xa√3 x 6a^2 = 2a^3√3

Dạng toán học tính V của hình chóp bao gồm các cạnh bên ⊥ với đáy

Như đã đề cập ở trên, công thức tính V của hình chóp là ⅓ S x h. Vì hình chóp cũng có cạnh bên ⊥ với mặt phẳng đáy nên có thể suy ra cạnh bên này chính là độ cao của hình chóp với h bằng độ dài cạnh bên ⊥ với đáy. Bạn có thể hiểu rõ hơn về hình thức tính kim tự tháp V này qua bài tập sau:

Bài tập: Cho hình chóp có tên S.ABC có cạnh SA ⊥ có đáy, chiều dài SA là 4, chiều dài AB là 6, chiều dài BC là 10 và chiều dài CA là 8. Vậy tính V của hình chóp S.ABC?

Trả lời:

Ta có AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = BC^2

→ Tam giác ABC vuông tại A.

Do đó, diện tích của tam giác này là: S = 1/2 AB x AC = 1/2 x 6 x 8 = 24

Như vậy thể tích hình chóp S.ABC = 1/3 x SA x S của tam giác ABC = 1/3 x 4 x 24 = 32

Dạng tính V của hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông

Với dạng toán hình chóp có mặt đáy là hình vuông, các em có thể làm theo bài tập sau:

Bài tập: Cho hình chóp S.ABCD gồm mặt phẳng đáy là hình vuông có cạnh a, cạnh SC tạo với mặt phẳng SAB một góc 30 độ, cạnh SA ⊥ với đáy. Tính V của kim tự tháp này?

Trả lời:

• Vì mặt phẳng ABCD là hình vuông nên cạnh BC vuông góc với cạnh AB (1).
• Vì cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABCD nên cạnh SA vuông góc với BC(2).
• Từ (1) và (2), ta suy ra cạnh BC cũng vuông góc với mặt phẳng SAB.
• Do đó, góc tạo bởi cạnh SA và mặt phẳng SAB = Góc tạo bởi cạnh SC và SB = Góc CSB = 30 độ.
• Từ đó suy ra BC/SB = tan30 = √3/3
• → SB = √3BC = √3a
• Dựa trên định lý Pythagore, cạnh SA = √SB^2 – AB^2 = √3a^2 – a^2 = √2a

Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là: 1/3 x SA x S của hình vuông ABCD = 1/3 √axa^2 = (√2/3) xa^3

Dạng tính V là hình lập phương hình chóp

Đây là một kim tự tháp khá đặc biệt vì tất cả các mặt bên của kim tự tháp đều có hình lập phương. Do đó, việc tính V của hình chóp này rất dễ dàng: V = axaxa = a^3. Tiếp theo là bài tập minh họa:

Cho một hình lập phương có đường chéo dài 27 cm. Tính V của kim tự tháp này?

Trả lời:

Độ dài các cạnh của hình chóp trên là 27/√3 (cm).

Khi đó V của hình chóp lập phương này bằng V = (27/√3)^3 = 6561/√3 (cm^3).

Dạng tính V của lăng trụ chóp có đáy là tam giác đều

Nếu một hình chóp có các mặt bên là hình bình hành và hai mặt phẳng đáy song song và có cùng kích thước thì nó được coi là hình lăng trụ. Nếu hình chóp lăng trụ này bao gồm một mặt phẳng đáy được coi là tam giác đều thì đó là lăng trụ tam giác đều. Sau đây là bài tập giúp bạn hiểu rõ hơn.

Bài tập: Cho lăng kính ABC.A'B'C' có mặt phẳng đáy là tam giác đều ABC có cạnh a bằng 2cm và chiều cao h bằng 3cm. Bạn có thể tính được thể tích của lăng kính này không?

Trả lời:

Vì đáy của hình chóp trên là tam giác đều có cạnh bằng a nên S của tam giác này bằng a^2 x √3/4 = 2^2 x (√3/4) = √3 (m2)

Từ đó suy ra thể tích của khối lăng trụ này bằng S của tam giác ABC xh = √3 x 3= 3√3 (m3)

Dạng tính V của hình chóp có đáy lục giác đều

Để hiểu rõ hơn cách tính thể tích của kim tự tháp này, các bạn hãy xem bài tập sau:

Bài tập: Cho hình chóp có đáy là hình lục giác đều có góc tạo bởi cạnh và mặt phẳng đáy bằng 30 độ thì chiều dài cạnh đáy là a. Tính V của kim tự tháp này?

Trả lời:

Ta gọi tên hình chóp trên là S.ABCDEF, gọi O là tâm của mặt đáy ABCDEF.

Từ đó suy ra OA = OC = OB = OD = OF = OE = AB = CD = BC = DE = FA = EF = a

→ Tam giác OAB là tam giác có tất cả các cạnh a.

→ Diện tích đáy ABCDEF gấp 6 lần diện tích tam giác OAB.

→ Diện tích bề mặt đáy ABCDEF bằng (3.a^2.√3)/2

Ta có cạnh SO vuông góc với đáy ABCDEF

→ Góc tạo bởi cạnh SA và đáy = Góc SAO = 30 độ

→ Cạnh SO = OA x tan30 = (a√3)/3

Như vậy, thể tích hình chóp S.ABCDEF = 1/3 x Diện tích đáy ABCDEF x SO = 1/3 x (3.a^2√3)/2 x (a√3)/3 = (a^ 3)/2

Dạng toán học của hình chóp V bao gồm các cạnh bên của hình đôi ⊥

Bạn có thể tham khảo bài tập sau để biết cách tính hình chóp chữ V có hai cạnh vuông góc nhau:

Cho tứ diện S.ABC gồm các cạnh SA, SC, SB và một cặp cạnh vuông góc với nhau. Cho biết SB = 4a, SA = 3a, SC = 5a. Tính V của kim tự tháp này?

Trả lời:

Ta có cạnh SA vuông góc với cạnh SC, cạnh SA vuông góc với cạnh SB → Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng SBC.

Từ đó suy ra diện tích hình chóp tứ diện S.ABC = 1/3 x SA x diện tích mặt phẳng SBC = 1/6 x SA x SB x SC = 1/6 x 3a x 4a x 5a = 10a^ 3

Dạng tính V là hình chóp quay

Công thức tính V của hình chóp quay

Công thức tính V của hình chóp tròn quay gần giống với công thức tính V của hình chóp cơ bản:

V = 1/3 B xh

= 1/3 x π xr^2 xhx 1/3 x B xh

= 1/3 x π xr^2 xh

Trong đó:

• B: Diện tích đáy là hình nón
• r: Bán kính mặt phẳng đáy hình nón
• h: Chiều cao hình nón

Bài tập tính V của hình chóp quay

Bài tập sau đây sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn cách tính thể tích của hình chóp quay trên:

Lấy một hình nón có chiều cao 2√5 có mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón, sau đó cắt hình nón này thành một mặt cắt ngang là tam giác đều có S của tam giác đó = 9√3. Tính V của hình chóp bị giới hạn bởi nón của bài toán.

Trả lời:

Ta có một tam giác tạo thành từ mặt cắt ngang của tam giác ABC như hình vẽ, điểm I được coi là trung điểm của cạnh BC, coi a là độ dài cạnh của tam giác ABC. Vì vậy, chúng tôi có:

(a^2√3)/4 = 9√3 → (3a^2)/4 = 27 → AI = a√3 = 3√3

→ OI = √AI^2 – AO^2 = √27 – 20 = √7

Bán kính đáy nón là R = OC = √OI^2 + IC^2 = √7 + 9 = 4

Khi đó V của hình chóp trên là V = 1/3 x π x 4^2 x 2√5 = (32√5π)/3

Nội dung trên đã chia sẻ nhiều công thức tính nhanh thể tích hình chóp để các bạn tìm hiểu. Hi vọng các bạn có thể giải các bài toán nhanh hơn với các công thức và bài tập trên. Đây là kiến ​​thức nền tảng để các em học hình học tốt hơn ở cấp THPT.

Tham khảo các bài viết liên quan:

• Đường trung tuyến là gì? Tính chất, công thức và bài tập tính đường trung tuyến
• Công thức lượng giác, bảng công thức lượng giác đầy đủ nhất