Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp và ví dụ minh hoạ

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp là một trong những nội dung mà học sinh lớp 9 cần nắm rõ để chuẩn bị cho các kỳ thi quan trọng. Vậy tứ giác nội tiếp là gì? Nêu đặc điểm và dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp? Hãy theo dõi bài viết dưới đây của Thác Trầm Hương Mobile để biết thông tin chi tiết nhé!

Tứ giác nội tiếp là gì?

Tứ giác nội tiếp hay còn gọi là tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn. Trong đó, các đỉnh của tứ giác nằm trên đường tròn gọi là đường tròn đồng tâm và đường tròn gọi là đường tròn ngoại tiếp.

Định lý tiện về tứ giác nội tiếp: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối đỉnh sẽ là 180 độ.

Ngoài định lý thuận, tứ giác nội tiếp còn có định lý ngược sau: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 độ thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.

Tính chất của tứ giác nội tiếp

Sau khi nắm được định lý thuận và định lý nghịch, bạn cần nắm rõ các tính chất, Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Những tính chất này sẽ giúp bạn áp dụng chúng để giải quyết các vấn đề liên quan. Các tính chất cụ thể của một tứ giác nội tiếp như sau:

• Theo định lý, trong một tứ giác nội tiếp sẽ có hai góc đối diện bằng 180 độ.
• Một tứ giác nội tiếp có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
• Mọi tam giác dù đều, vuông hay cân đều có đường tròn ngoại tiếp.
• Một tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh cách đều một điểm ở tâm gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Dấu hiệu nào để nhận biết tứ giác nội tiếp?

Trong môn toán hình học lớp 9, tứ giác nội tiếp là nội dung quan trọng mà học sinh cần phải hiểu. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp bao gồm:

• Một tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định, nghĩa là tồn tại điểm O sau đây với OA = OB = OC = OD.
• Một tứ giác có hai góc đối diện nhau có tổng bằng 180 độ.
• Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp.

Làm thế nào để chứng minh một tứ giác nội tiếp?

Có nhiều cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn dựa vào tính chất Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Tiếp theo chúng tôi sẽ chia sẻ những cách chứng minh tứ giác nội tiếp đơn giản nhất để các bạn tham khảo:

Chứng minh rằng bốn đỉnh cách đều một điểm

Nếu bài toán cho đường tròn O, bán kính R thì bất kỳ điểm nào trên đường tròn đều cách tâm một khoảng R. Vì vậy, dựa vào lý thuyết này hãy nhanh chóng chứng minh tứ giác nội tiếp. Ví dụ: Cho điểm I cố định và tứ giác ABCD, để chứng minh đây là tứ giác nội tiếp, hãy chứng minh IA = IB = IC = ID. Điểm I là tâm đường tròn và có bán kính IA.

Chứng minh rằng tổng hai góc đối diện của một tứ giác là 180 độ

Ngoài việc chứng minh một tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh cách đều một điểm, bạn còn có thể chứng minh hai góc đối diện của tứ giác đó bằng 180 độ. Ví dụ, cho tứ giác ABCD, chứng minh góc A + C = 180 độ hoặc góc B + D = 180 độ. Chỉ cần chứng minh một cặp góc đối diện có tổng bằng 180 độ Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp thì đây là một tứ giác nội tiếp.

Chứng minh rằng góc ngoài tại đỉnh này bằng góc trong tại đỉnh đối diện

Cách chứng minh này khá đơn giản, bạn cần chứng minh góc ngoài tại đỉnh A bằng góc trong của đỉnh C thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh tứ giác đặc biệt

Đối với bài toán chứng minh một tứ giác nội tiếp, các bạn có thể chứng minh thông qua các tứ giác đặc biệt như hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi,… Từ đây các em sẽ suy ra tứ giác trong bài toán là một tứ giác. cảm giác bên trong.

Cách giải một số dạng bài tập tứ giác nội tiếp lớp 9

Để giải các bài tập liên quan cần nắm vững các định lý, tính chất, Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Khi đã nắm vững kiến ​​thức, bạn sẽ vận dụng linh hoạt vào từng yêu cầu của chủ đề. Dưới đây chúng tôi sẽ cung cấp cho các bạn một số ví dụ về các bài tập nội tiếp tứ giác thông dụng để các bạn tham khảo:

Bài 1

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao BM và CN cắt nhau tại điểm H. Chứng minh AMHN và BNMC là các tứ giác nội tiếp.

Đây là vấn đề thường gặp của học sinh lớp 9. Giải bài tập này rất đơn giản. Trước hết xét tứ giác AMHN có góc AMH + ANH = 90 + 9- = 180 độ. Theo dấu hiệu nhận biết, tứ giác AMHN có tổng hai góc đối diện bằng 180 độ nên AMHN là tứ giác nội tiếp.

Tương tự như trên, xét tứ giác BNMC có góc BNC = BMC = 90 độ. Từ đó ta kết luận tứ giác BNMC là tứ giác nội tiếp.

Bài 2

Tứ giác ABCD nội tiếp tại tâm O, điểm M nằm giữa cung AB. Khi nối điểm M với D, C sẽ cắt cạnh AB tại E và P. Hãy chứng minh hình PEDC là tứ giác nội tiếp?

Với bài toán này, ta thấy góc AED bằng 1/2 tổng số đo các cung AD và MB. Do đó, bằng 1/2 số đo cung DM phải bằng góc MCD. Từ đây suy ra góc DEP + PCD sẽ bằng 180 độ -> PEDC là tứ giác nội tiếp (điều cần phải chứng minh).

Bài 3

Cho hình thang ABCD có góc C = D = 60 độ, cạnh CD = 2AD. Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Dạng toán này cũng thường được liên kết với Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Lớp 9. Trong các buổi học trên lớp, ôn tập chắc chắn các em đã được giáo viên hướng dẫn chi tiết. Để giải quyết vấn đề này, vui lòng tham khảo hướng dẫn sau:

• Đầu tiên gọi I là trung điểm của cạnh CD.
• Bây giờ chúng ta có các cạnh IC = AB và IC // AB. Từ đây suy ra ICBA là hình bình hành nên cạnh BC = AI(1).
• Tương tự như chứng minh trên, ta được AD = IB(2).
• Theo bài toán, ABCD là hình thang nên góc C = D = 60 độ => đây là hình thang cân (3).

Từ ba lập luận trên suy ra ICB và IAD là hai tam giác đều => AI = IB = IC = ID => các điểm A, B, C, D nằm trên cùng một đường tròn (điều cần phải chứng minh).

Bài 4

Chứng minh tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Trong đó M thuộc đường tròn kẻ MH vuông góc với BC tại điểm H và MI vuông góc với AC tại điểm I. Chứng minh tứ giác MIHC là tứ giác. giác quan bên trong.

Hầu hết học sinh lớp 9 thường sợ bài tập về tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên, miễn là bạn hiểu các định lý và tính chất, Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp thì mọi bài tập đều trở nên đơn giản. Đối với bài tập này, có thể thấy góc MIC và góc CHM đều bằng 90 độ. Từ đây có thể suy ra MIHC là tứ giác nội tiếp vì nó có hai đỉnh kề nhau và nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông.

Bài 5

Chứng minh rằng hình bán nguyệt có đường kính AB = 2R, tiếp tuyến Ax cùng cạnh với AB. Từ điểm M kẻ đường tiếp tuyến MC, cạnh AC cắt OM tại điểm E và MB cắt hình bán nguyệt tại D. Yêu cầu chứng minh các tứ giác AMCO, AMDE, MBCD là tứ giác nội tiếp.

Ở dạng này, chủ đề có phần phức tạp hơn nhưng nó dựa trên dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Giải pháp cũng sẽ rất đơn giản. Theo bài toán, MA và MC là tiếp tuyến nên các góc MAO và MCO bằng 90 độ.

Xét tứ giác AMCO, ta có góc MAO + MCO = 180 độ nên AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn (điều cần chứng minh).

Tiếp theo, ta có góc ABD bằng 90 độ nên suy ra ADM cũng bằng 90 độ.

Ta có OA = OC = R và MA = MC do tính chất tiếp tuyến.

Suy ra OM sẽ là đường phân giác vuông góc -> góc AME bằng 90 độ.

Qua các lập luận trên ta suy ra ADM = AEM = 90 độ.

Như vậy AMDE có hai đỉnh A và E kề nhau và nhìn vào cạnh MA một góc không đổi. Dựa vào dấu của tứ giác nội tiếp, AMDE được ghi trong đường tròn bán kính MA (điều cần phải chứng minh).

Một số lưu ý khi chứng minh tứ giác nội tiếp lớp 9

Trên đây chúng tôi đã nhắc lại phần lý thuyết bao gồm các định lý, tính chất, Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Ngoài ra, chúng tôi còn đưa ra ví dụ về các loại bài viết cụ thể để bạn hiểu rõ hơn. Tuy nhiên, khi làm bài tập về tứ giác nội tiếp, học sinh cần lưu ý những điều sau:

• Điều đầu tiên cần lưu ý là các bạn cần vẽ hình đúng theo yêu cầu của câu hỏi. Chỉ khi vẽ được bức tranh một cách chính xác thì bạn mới dễ dàng xác định được điều cần chứng minh.
• Các góc và đường thẳng cần được đánh dấu rõ ràng để tránh nhầm lẫn.
• Bạn cần nắm chắc kiến ​​thức lý thuyết và bám sát yêu cầu đề thi để tránh bị lạc đề.
• Hãy chú ý đến yêu cầu của đề tài, đây là những gợi ý giúp bạn chứng minh dễ dàng hơn.
• Cuối cùng, học sinh không nên dùng điều cần chứng minh để chứng minh lại. Đây là lỗi thường gặp trong bài tập nội tiếp tứ giác của học sinh lớp 9.

Ngoài những lưu ý trên, khi học ở trường các bạn cần chú ý nghe giảng của giáo viên và ghi chép đầy đủ. Bạn cần nắm vững kiến ​​thức trên lớp và luyện thêm bài tập ở nhà. Để giúp học sinh học tốt hơn môn tứ giác, phụ huynh có thể mua thêm sách tham khảo, hỗ trợ cho con. Trong trường hợp cần thiết, phụ huynh có thể gửi con đi dạy kèm tại trung tâm hoặc mua khóa học trực tuyến.

Kết luận tạm thời

Trong bài viết trên chúng tôi đã chia sẻ các định lý, tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp để bạn tham khảo. Ngoài nội dung lý thuyết, chúng tôi còn sử dụng các ví dụ minh họa để giúp học viên có cái nhìn trực quan, dễ hiểu hơn. Tứ giác nội tiếp là một trong những nội dung quan trọng của môn toán hình học lớp 9. Các em cần nắm chắc những kiến ​​thức này để phục vụ cho kỳ thi lớp 10 sắp tới. Chúc các bạn học tập tốt, đạt kết quả học tập tốt, xứng đáng với công sức bỏ ra.

Hãy nhấn theo dõi fanpage Thác Trầm Hương Mobile và kênh Youtube Kênh sông Thác Trầm Hương để không bỏ lỡ những thông tin thú vị!

XEM THÊM:

• Cách đăng ký tài khoản và các khóa học miễn phí trên Moon chi tiết
• Ghi nhớ nhanh giúp bạn tiếp thu tốt và nhớ lâu