Diện tích xung quanh hình trụ là một trong những nội dung quan trọng của toán hình học không gian. Vậy công thức tính diện tích xung quanh hình trụ là gì? Ứng dụng của xi lanh trong đời sống? Hãy theo dõi bài viết dưới đây của Thác Trầm Hương Mobile để biết thêm những thông tin thú vị nhé!
Xi lanh là gì?
Trong module hình học không gian, hình trụ được sử dụng phổ biến, áp dụng cho các bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Xoay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh CD một lần ta sẽ được hình trụ. Theo đó, đáy của hình trụ là một đường tròn bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song. Trục của hình trụ là cạnh DC và đường sinh của hình trụ là độ cao. Dựa vào những đặc điểm này, bạn sẽ tính toán diện tích xung quanh xi lanhtổng diện tích hoặc thể tích.
Qua phần giải thích trên chắc chắn các bạn đã hình dung được hình trụ là gì. Vì hình trụ có những đặc tính riêng biệt như khả năng chịu lực và khả năng lưu trữ không gian tốt hơn một số hình học khác nên bạn sẽ gặp rất nhiều hình học này. Một số đồ vật có dạng hình trụ như lon nước, ống nước, cột trụ.
Các công thức liên quan đến hình trụ
Như chúng tôi đã chia sẻ ở trên, xi lanh được sử dụng rất nhiều trong đời sống hàng ngày. Vì vậy, mọi người cần biết cách tính diện tích xung quanh, tổng diện tích và thể tích của hình học không gian này. Dưới đây chúng tôi sẽ tổng hợp các công thức tính liên quan đến hình trụ để bạn tham khảo:
Diện tích xung quanh hình trụ
Đầu tiên chúng ta sẽ học cách tính diện tích xung quanh hình trụ, đó là diện tích của bề mặt xung quanh không bao gồm diện tích của hai đáy. Để tính diện tích xung quanh của một hình trụ, hãy lấy chu vi của hình tròn đáy và nhân với chiều cao.
Sxq = 2πrh
Trong đó:
- Sxq là diện tích xung quanh.
- 2πr là cách tính chu vi của đường tròn đáy.
- h là chiều cao của hình trụ.
Tổng diện tích của hình trụ
Tính tổng diện tích hình trụ sẽ bao gồm diện tích xung quanh + diện tích hai mặt đáy. Như vậy, để tính tổng diện tích của hình trụ, chúng ta sẽ lấy diện tích xung quanh rồi cộng diện tích của hai mặt đáy.
Stp = 2πr^2 + 2πrh
Trong đó:
- Stp – viết tắt của tổng diện tích.
- 2πr^2 là diện tích đáy (hình tròn).
- 2πrh là diện tích xung quanh hình trụ.
Sau khi học công thức tính diện tích xung quanh xi lanh và tổng diện tích, bạn có thể thấy cách tính khá đơn giản. Chúng tôi sẽ lấy một ví dụ cụ thể để mọi người dễ hình dung hơn nhé!
Bài tập cho một hình trụ có bán kính r = 5cm, chiều cao h = 10cm. Cần tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
Giải pháp:
Theo dữ liệu của bài toán, ta đã biết đường kính mặt đáy bánh xe và chiều cao của hình trụ. Vì vậy, chúng ta chỉ cần áp dụng công thức và tính ra kết quả. Diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2πrh = 1 x 3,14 x 5 x 10 = 314 cm2. Sau khi tính diện tích xung quanh, chúng ta sẽ tìm được tổng diện tích của hình trụ bằng Stp = 2πr^2 + 2πrh = 2 x 3,14 x 5^2 + 314 = 471 cm2.
Thể tích hình trụ
Tính thể tích hình trụ là một trong những nội dung bạn cần nắm rõ bên cạnh cách tính thể tích. diện tích xung quanh xi lanhtổng diện tích. Việc tính thể tích của hình trụ cũng khá đơn giản, bạn lấy diện tích đáy nhân với chiều cao.
V = Πr^2h
Trong đó:
- V là ký hiệu dùng để biểu thị thể tích của hình trụ.
- πr^2 là diện tích đáy.
- h là chiều cao của hình trụ.
Để giúp các bạn hiểu rõ hơn về cách tính thể tích hình trụ, chúng ta sẽ lấy ví dụ thông qua một bài toán cụ thể. Ví dụ: giả sử một hình trụ có bán kính r = 5cm, chiều cao h = 10cm. Thể tích của hình trụ này sẽ bằng V = 3,14 x 5^2 x 10 = 785 cm3.
Một số bài tập về hình trụ
Hình trụ là một dạng hình học không gian được học trong học phần toán hình học lớp 9 và có tính ứng dụng cao. Sau khi học kiến thức lý thuyết, để giúp các em hiểu rõ hơn về dạng hình học này chúng ta sẽ sử dụng các bài tập minh họa, cụ thể:
Bài 1
Cho một hình trụ có chu vi đáy là 8π, chiều cao h = 10. Bạn được yêu cầu tính thể tích của hình trụ.
- 80π
- 40π
- 160π
- 150π
Làm:
Để tính thể tích của một hình trụ, trước tiên chúng ta cần tính chu vi đáy. C = 2πr = 8π => r = 4. Như vậy thể tích của hình trụ sẽ bằng V = Πr^2h = 160Π => C là đáp án đúng cho câu hỏi này.
Bài 2
Một hình trụ có bán kính đáy r = 4cm và chiều cao h = 5cm. Hãy tính toán diện tích xung quanh xi lanh ở đó?
- 40Π
- 30Π
- 20Π
- 50Π
Cách thực hiện: Đối với bài tập này, bạn đã có đủ thông tin và dữ liệu về hình trụ. Bạn chỉ cần áp dụng công thức Sxq = 2πRh = 2π.4.5 = 40π => chọn đáp án A là đúng.
Bài 3
Tiếp tục cho hình trụ có bán kính đáy r = 8cm và biết tổng diện tích tích là 564π cm2. Hãy tính chiều cao của hình trụ rồi khoanh vào đáp án đúng?
- 27 cm
- 27,25 cm
- 25 cm
- 25,27 cm
Cách thực hiện: Có thể thấy dạng bài tập này đã có sự thay đổi, khác biệt so với các bài tập trước. Để tính chiều cao của hình trụ, ta sẽ áp dụng công thức:
Stp = 2πr^2 + 2πrh = 256 Π => 16Πh + 2Π8^2 = 564Π => h = 27,25 cm. Như vậy, tìm chiều cao của hình trụ bằng 27,25cm -> khoanh tròn đáp án B.
Bài 4
Cho một hình trụ có bán kính r, chiều cao h, nếu tăng chiều cao và giảm bán kính đáy lên 2 lần thì:
- Thể tích của xi lanh không đổi
- Diện tích xung quanh hình trụ vẫn giữ nguyên
- Giữ tổng diện tích hình trụ không đổi
- Không thay đổi chu vi của đế hình trụ
Làm:
Đầu tiên, chúng ta sẽ xác định chiều cao mới của hình trụ = 2h và bán kính mới là r/2. Dựa vào đó, chúng ta sẽ tìm được chu vi đáy = 2Πr' = 2Π r/2 = Πr < 2Πr = C => D là đáp án sai.
Tiếp tục xét tổng diện tích của hình trụ:
2ΠR'h + 2ΠR'2 = 2ΠRh + ΠR2/2 khác với 2ΠRh + 2ΠR2 => B là đáp án sai
Để tính diện tích toàn phần của hình trụ, ta áp dụng công thức:
2ΠR'h = 2ΠR/2.2h = 2ΠRh => C là đáp án đúng.
Bài 5
Cho một hộp sữa ông Thọ đã bỏ nắp, có dạng hình trụ, chiều cao h = 12cm, đường kính đáy 8cm. Tính tổng diện tích của Mr. Hộp sữa của Thơ.
- 110Π (cm2)
- 128Π (cm2)
- 96Π (cm2)
- 112Π (cm2)
Làm:
Với những thông tin đã cho chúng ta có thể dễ dàng tính được tổng diện tích của hộp sữa theo công thức:
Stp = Sxq + Sd = Πdh + Π(d/2)2
= Π.8.12 + Π.(8/2)2 = 112Π (cm2)
=> Chọn D là tổng diện tích hộp sữa anh Thơ đã cho.
Bài học 6
Cho hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao h. Nếu bạn tăng chiều cao của hình trụ lên hai lần và giảm bán kính đi hai lần thì
- Thể tích của xi lanh không đổi
- Tổng diện tích không đổi
- Khu vực xung quanh không thay đổi
- Chu vi đáy không đổi
Làm:
Ngoài dạng tính toán diện tích xung quanh xi lanhbạn cần nắm vững các kiến thức liên quan đến hình học không gian này. Đầu tiên chúng ta sẽ đặt chiều cao mới cho hình trụ là h' = 2h => từ đây suy ra bán kính mới của mặt đáy sẽ là R' = R/2.
Theo đó, hình trụ mới có chu vi đáy là 2ΠR' = 2ΠR/2 = ΠR < 2ΠR = C => đáp án D sai.
Tổng diện tích của hình trụ mới được xác định là: 2ΠR'h + 2ΠR2 = 2ΠRh + ΠR2/2 khác 2ΠR2 => Đáp án B cũng sai.
Tiếp theo, chúng ta sẽ tính thể tích của hình trụ mới: ΠR'2h = ΠR2h/ 4 khác ΠR2h => A cũng là đáp án sai.
Cuối cùng, chúng ta sẽ tính diện tích xung quanh của hình trụ mới:
2ΠR'h = 2ΠR/2.2h = 2ΠRh => C là đáp án đúng.
Bài học 7
Cho hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao h. Nếu chiều cao giảm 9 lần và bán kính đáy tăng 3 lần thì:
- Thể tích của xi lanh không đổi
- Tổng diện tích không đổi
- Khu vực xung quanh không thay đổi
- Chu vi đáy không đổi
Làm:
Tương tự như trên, ở dạng này ta xét hình trụ mới trong từng trường hợp. Đầu tiên, xác định một hình trụ mới có chiều cao h' = h/9 và bán kính đáy mới R' = 3R.
Từ đây, ta xác định được hình trụ mới có chu vi đáy phẳng: 2ΠR' = 2Π3R = 6ΠR = 3,2ΠR = 3C => D là đáp án không chắc chắn.
Tiếp theo, tính tổng diện tích của hình trụ mới sẽ là 2ΠR'h + 2ΠR'2 = 2Π3Rh/9 + 2Π (3R) = 2ΠRh/3 + 6ΠRh + 2ΠR2 => B cũng là đáp án sai.
Thể tích của hình trụ mới sẽ bằng ΠR'2h' = Π(3R)2h/9 = ΠR2h => A là đáp án đúng.
Vậy đáp án đúng là A, nhưng để biết tại sao đáp án C sai thì ta tiếp tục tính toán. Diện tích xung quanh hình trụ new sẽ bằng 2ΠR'h' – 2Π.3R.h/9 = 2ΠRh/3 khác với 2ΠRh, vì vậy C là đáp án sai.
Bài học 8
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng 1/4 chiều cao. Nếu cắt hình trụ này bằng một mặt phẳng đi qua hình trụ thì mặt cắt ngang sẽ là hình chữ nhật có diện tích 50cm2. Hãy tính toán diện tích xung quanh xi lanh và thể tích của hình trụ đó.
Làm:
Theo giả sử ta xác định được bán kính R = 1/4 h và diện tích hình chữ nhật = h.2R = 50cm2. Dựa vào đó ta có diện tích hình chữ nhật = (2,1/4 h).h = 50 => h2 = 100 => h = 10cm. => r = 1/4h = 1/4,10 = 5/2cm.
Do đó, thể tích của hình trụ sẽ bằng ΠR2h = Π(5/2)2. 10 = 62,5Π (cm3)
Diện tích xung quanh hình trụ bằng 2Πrh = 2Π5/2,10 = 50Π (cm2)
Kết luận tạm thời
Như vậy chúng ta đã chia sẻ phương pháp tính toán diện tích xung quanh xi lanh và các kiến thức liên quan để bạn tham khảo. Hy vọng những thông tin trên sẽ giúp các bạn có thêm kiến thức và kỹ năng giải các bài tập về hình trụ. Hãy tiếp tục theo dõi fanpage nhé Thác Trầm Hương Mobile và kênh Youtube Kênh sông Thác Trầm Hương để không bỏ lỡ những thông tin thú vị!
XEM THÊM:
- Công thức tính diện tích toàn phần và thể tích hình cầu
- Học công thức tính diện tích tam giác đều và đường cao của tam giác đều
Ý kiến bạn đọc (0)