Hợp số là gì? Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố, bài tập mẫu

Nếu học sinh chưa biết hợp số là gì và còn bối rối trong việc phân tích thành thừa số nguyên tố thì nên tham khảo bài viết này. Bài viết này sẽ giải đáp toàn bộ kiến ​​thức liên quan đến hợp số cùng với một số bài tập mẫu. Chắc chắn học sinh sẽ biết cách vận dụng vào bài toán lớp 6 của mình.

Số nguyên tố và hợp số là gì?

Khái niệm số nguyên tố

Số nguyên tố là các số trong tập hợp số tự nhiên lớn hơn 1 và có hai ước số duy nhất là chính chúng và 1. Ví dụ về các số nguyên tố hiện nay là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19.

Số tổng hợp là gì?

Số tổng hợp là số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước.

Ví dụ:

• Số 4 là hợp số vì nó có các ước là 1, 2 và 4.
• Số 6 là hợp số vì nó có các ước là 1, 2, 3 và 6.

Ghi chú:

• Số 1 không phải là hợp số.
• Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có ít nhất 1 ước số.
• Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và là số nguyên tố duy nhất chẵn. Các số nguyên tố còn lại đều là số lẻ.
• Để biết số tự nhiên lớn hơn 1 có phải là số nguyên tố hay không, bạn cần xét các thừa số của số đó.
• Ví dụ như các số như 2, 5, 11, 17, 23… là số nguyên tố và ngày nay có vô số số nguyên tố khác.

Số nguyên tố có những tính chất gì?

Sau khi đã tìm hiểu được hợp số là gì, sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu một số tính chất của số nguyên tố mà các bạn có thể tham khảo:

• Số nguyên tố là không giới hạn.
• Nếu số nguyên tố q chia hết cho số nguyên tố p thì q bằng p.
• Cho rằng tích a×b×c chia hết cho số nguyên tố p thì ít nhất một thừa số của a×b×c cũng chia hết cho p.
• Nếu cả aaa và bbb đều không chia hết cho số nguyên tố p thì tích a×b không chia hết cho p.
• Nếu một số A là hợp số thì A sẽ có ít nhất một ước nguyên tố không vượt quá căn bậc hai của A.

Bảng tổng hợp các số nguyên tố có giá trị nhỏ hơn 100

Một khi bạn tìm hiểu số nguyên tố là gì và số tổng hợp là gì? Chắc hẳn nhiều bạn sẽ thắc mắc số nguyên tố nào nhỏ hơn 100? Theo thống kê, hiện có 25 số nguyên tố có giá trị nhỏ hơn 100. Các số còn lại sẽ thuộc tập hợp các số từ 1 đến 100. Bảng dưới đây tổng hợp các số nguyên tố từ 1 đến 100:

Phương pháp dễ dàng phân tích một số thành thừa số nguyên tố

Sau khi tìm hiểu thế nào là hợp số và thế nào là số nguyên tố, chúng ta sẽ học cách phân tích một số thành thừa số nguyên tố. Phân tích một số lớn hơn 1 (số tự nhiên) thành thừa số nguyên tố là quá trình chia số đó thành thừa số nguyên tố. Thông thường có 2 phương pháp để bạn phân tích như sau:

Phương pháp phân nhánh

Chủ đề 1: Phân tích số 12 thành thừa số nguyên tố.

Giải pháp:

• Bước 1: Tìm ước của số nguyên tố 12 là 2. Sau đó viết số 12 dưới dạng tích của 2 với một thừa số khác, ví dụ: 12 = 2 x 6. Tiếp theo vẽ nhánh từ số 12 có hai hệ số: 2 và 6.
• Bước 2: Tìm ước nguyên tố tiếp theo của 6 là 2. Tiếp theo, viết số 6 dưới dạng tích của 2 với một thừa số khác, ví dụ: 6 = 2 * 3. Khi đó bạn sẽ vẽ thêm hai nhánh từ số 6 , đó là hai thừa số 2 và 3.
• Bước 3: Khi đó thừa số 2 và thừa số 3 đều là các số nguyên tố độc lập nên quá trình phân tích sẽ dừng lại. Sau đó bạn lấy tích của các thừa số ở cuối mỗi nhánh ta được: 12 = 2 * 2 * 3

Kết luận là chúng ta phân tích số 12 thành thừa số nguyên tố 2 * 2 * 3.

Chuyên đề 2: Phân tích số 72 thành thừa số nguyên tố bằng phương pháp phân nhánh:

Giải pháp:

Ta có ước nguyên tố của số 72 chính là số 2. Vậy ta có 72 = 2 x 36. Sau đó, ta tiếp tục phân tích số 36 = 2 x 18 = 18 = 2 x 9 = 9 = 3 x 3.

Vì vậy, chúng ta có thể kết luận rằng phân tích số 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 (Tốt nhất nên viết là 72 = 2^3 x 3^2).

Phương pháp phân tích theo cột dọc

Định nghĩa về hợp số có thể được áp dụng để phân tích một số thành thừa số nguyên tố dựa trên cột dọc:

Bài 1: Hãy phân tích số 12 thành thừa số nguyên tố theo cột dọc:

Để phân tích số 12 thành thừa số nguyên tố, chúng ta bắt đầu với ước số nhỏ nhất:

• Chia 12 cho 2 được 6.
• Lấy 6 chia cho 2 được 3.
• Cuối cùng, chia 3 cho 3 để được 1.

Vì vậy, số 12 có thể được biểu diễn dưới dạng thừa số nguyên tố như sau: 12 = 2 × 2 × 3.

Bài 2: Phân tích số 72 thành thừa số nguyên tố bằng phương pháp cột dọc

Để phân tích số 72 thành thừa số nguyên tố, hãy làm theo các bước sau:

• Chia 72 cho 2 được 36.
• Lấy 36 chia cho 2 được 18.
• Chia 18 cho 2 lần nữa được 9.
• Chia 9 cho 3 được 3.
• Cuối cùng, chia 3 cho 3 để được 1.

Như vậy, số 72 có thể biểu diễn bằng thừa số nguyên tố như sau: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3.

Ghi chú:

• Bạn chỉ nên chia mỗi số cho ước số nguyên tố nhỏ nhất của nó.
• Tiếp tục chia cho đến khi thương số bằng 1 thì dừng.

Một số bài toán mẫu về hợp số và số nguyên tố

Hiểu rõ thế nào là hợp số, thế nào là số nguyên tố có thể áp dụng để giải các bài toán liên quan. Bạn có thể xem một số bài tập mẫu như sau:

Bài 1

Phân tích các số sau thành thừa số nguyên tố: 225; 1800; 3060; 1050.

Giải pháp:

Số 225 = 5*5*3*3

= 3^2 * 5^2.

Số 1800 = 2*2*2*3*3*5*5

= 2^3 * 3^2 * 5^2.

Số 3060 = 2*2*3*3*5*17

= 2^2 * 3^2 * 5 * 17.

Số 1050 = 2*3*5*5*7

= 2 * 3 * 5^2 *7.

Bài 2

Hãy phân tích số 63 thành thừa số nguyên tố và tìm các ước của nó.

Giải pháp:

Đầu tiên, chúng ta phân tích 63 thành thừa số nguyên tố: 63 = 3 x 3 x 7 = 3^2 x 7.

Bây giờ, chúng ta xác định các ước của 63: 63 = 1 x 63, 63 = 3 x 21, 63 = 7 x 9.

Vậy ta có thể kết luận rằng tập ước của 63 là {1, 3, 7, 9, 21, 63}.

Bài 3

Các tổng và hiệu sau đây là hợp số hoặc số nguyên tố:

1. 2125 + 3150
2. 2532 + 5163
3. 21 x 27 x 25 + 21 x 19 x 23
4. 15 x 37 x 19 – 225

Giải pháp:

5275. Tính tổng 2125 + 3150 = 5275. Vậy tổng này sẽ chia hết cho 5 và là hợp số.
5276. Tính tổng 2532 + 5163 = 7695. Vậy tổng này sẽ chia hết cho 5 và là hợp số.
5277. Tính tổng 21 x 19 x 23 + 21 x 27 x 25 = 23352. Vậy tổng này sẽ chia hết cho 21 và là hợp số.
5278. Tính hiệu 15 x 37 x 19 – 225 = 10320. Vậy hiệu này sẽ chia hết cho 15 nên cũng là hợp số.

Bài tập tự luyện về hợp số và số nguyên tố

Khi đã biết khái niệm hợp số là gì và số nguyên tố là gì, bạn có thể thực hành các bài tập liên quan sau:

Bài 1: Phân tích các số sau thành thừa số nguyên tố:

• 36
• 54
• 100
• 143
• 2017

Bài 2: Xét số nào sau đây là số nguyên tố:

• 73
• 107
• 159
• 221
• 257

Bài 3: Tìm số nguyên tố lớn nhất và số nguyên tố nhỏ nhất trong các ước của 198.

Bài 4: Liệt kê các số nguyên tố nhỏ hơn 30.

Bài 5: Cho số nguyên dương bất kỳ. Chứng minh rằng số đó là số nguyên tố hoặc tích của hai số nguyên tố.

Gợi ý giải bài tập:

Bài 1: Phân tích các số sau thành thừa số nguyên tố:

• 36 = 2^2 * 3^2
• 54 = 2 * 3^3
• 100 = 2^2 * 5^2
• 143 = 11 * 13
• 2017 = 23 * 87

Bài 2: Xét số nào sau đây là số nguyên tố:

• 73 là số nguyên tố
• 107 là số nguyên tố
• 159 là số nguyên tố
• 221 là hợp số (221 = 13 * 17)
• 257 là số nguyên tố.

Bài 3: Tìm số nguyên tố lớn nhất và số nguyên tố nhỏ nhất trong các ước của 198.

• Thừa số của 198: 1, 2, 3, 6, 9, 11, 18, 22, 33, 44, 66, 99, 198
• Số nguyên tố nhỏ nhất: 2
• Số nguyên tố lớn nhất: 99

Bài 4: Liệt kê các số nguyên tố nhỏ hơn 30.

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Bài 5: Cho số nguyên dương bất kỳ. Chứng minh rằng số đó là số nguyên tố hoặc tích của hai số nguyên tố.

Chứng minh:

Cho n là số nguyên dương bất kỳ.

Trường hợp 1: n là số nguyên tố.

=> n không thể là tích của hai số nguyên tố khác.

Trường hợp 2: n là hợp số.

=> n có thể được phân tích dưới dạng tích của hai số nguyên tố a và b (a, b > 1).

Vì vậy, n là số nguyên tố hoặc tích của hai số nguyên tố.

Mẹo giúp học sinh giải nhanh các bài toán liên quan đến hợp số và số nguyên tố

Bên cạnh việc tìm hiểu hợp số là gì, dưới đây là một số mẹo giúp học sinh giải nhanh các bài toán về hợp số và số nguyên tố:

Nhận biết số nguyên tố nhỏ

Ghi nhớ các số nguyên tố nhỏ (dưới 100) để bạn có thể nhanh chóng nhận ra chúng trong các bài toán. Khi gặp những bài toán đơn giản, mẹo này có thể giúp bạn giải toán và tiết kiệm thời gian.

Kiểm tra tính chia hết nhanh

Áp dụng quy tắc chia hết để kiểm tra xem một số có phải là hợp số hay không:

• Chia hết cho 2: Số chẵn.
• Chia hết cho 3: Tổng các chữ số chia hết cho 3.
• Chia hết cho 5: Số tận cùng là 0 hoặc 5.
• Chia hết cho 7, 11, 13: Sử dụng các bài kiểm tra đặc biệt hoặc máy tính.

Sử dụng phương pháp phân tích số

Khi gặp một số lớn, hãy thử phân tích nó thành thừa số nguyên tố bằng cách chia cho các số nguyên tố nhỏ dần dần từ 2 trở đi. Sau đó bạn phân tích dần dần để đảm bảo tính chính xác của kết quả.

Phân tích biểu thức

Bạn không chỉ biết được hợp số là gì mà còn có thể tìm hiểu thêm các mẹo về phân tích biểu thức. Ngoài ra, các bài toán trừ và nhân, phân tích biểu thức để đơn giản hóa và xác định tính chất nguyên tố/tổng ​​hợp của kết quả. Bạn cần nhớ thứ tự phân tích để đảm bảo kết quả chính xác nhất.

Sử dụng bảng số nguyên tố

Trong quá trình giải toán, các em có thể sử dụng bảng số nguyên tố đã được chuẩn bị sẵn để tra cứu nhanh khi gặp số lớn. Điều này sẽ giúp bạn có được kết quả chính xác và tiết kiệm thời gian giải quyết vấn đề.

Luyện tập thường xuyên

Luyện tập giải nhiều bài tập về số nguyên tố, hợp số để làm quen với các dạng bài toán và cách giải nhanh sẽ giúp học sinh học toán tốt hơn. Ngoài ra, việc luyện giải loại toán này sẽ giúp bạn tăng khả năng phản xạ nhanh hơn.

Sử dụng mẹo đơn giản hóa

Đôi khi, việc nhóm các số hoặc chia các số trong một bài toán có thể giúp đơn giản hóa quá trình giải bài toán. Phương pháp này có thể áp dụng cho dạng toán học phân tích số nguyên tố ở trên.

Áp dụng những mẹo giải toán này sẽ giúp học sinh giải các bài toán liên quan đến hợp số và số nguyên tố một cách nhanh chóng và hiệu quả hơn.

Qua bài viết trên các bạn đã hiểu được hợp số là gì và cách phân tích một số thành thừa số nguyên tố. Học sinh cần luyện tập phân tích thường xuyên dựa trên những mẹo trên để học tốt toán lớp 6 và luyện tốt trong các bài tập trên lớp hay trong các kỳ thi quan trọng hiện nay.

Tham khảo các bài viết liên quan:

• 6 phần mềm giải toán trực tuyến tốt nhất hiện nay
• TOP 9 phần mềm, website giải toán trực tuyến tốt nhất, nhanh nhất hiện nay