Hướng dẫn cách tính thể tích khối trụ và bài tập minh hoạ

Khối lượng xi lanh là một trong những nội dung hình học không gian thú vị có thể ứng dụng vào đời sống hàng ngày. Vậy công thức tính thể tích hình trụ là gì? Hãy theo dõi bài viết dưới đây của Thác Trầm Hương Mobile để biết thêm thông tin chi tiết nhé!

Xi lanh là gì?

Hình trụ hay còn gọi là hình trụ là một không gian hình học được giới hạn bởi một hình tròn có đường kính bằng nhau và một bề mặt hình trụ. Theo định nghĩa trong sách Hình học lớp 9, hình trụ được định nghĩa như sau:

“Hình trụ là hình được giới hạn bởi một mặt trụ và hai đường tròn bằng nhau là giao điểm của mặt trụ và hai mặt phẳng vuông góc với trục”.

“Hình trụ là một hình tròn được quay khi được tạo ra bởi bốn cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường trung tuyến của hình chữ nhật đó”.

Dựa vào định nghĩa trên để nhận biết hình trụ và tính thể tích hình trụ Rất đơn giản dựa trên các thuộc tính sau:

• Hình có hai cạnh đáy là hình tròn có đường kính bằng nhau là hình trụ.
• Hình trụ có hai chiều dài song song và bằng nhau.
• Trục tọa độ của hình trụ là đường thẳng nối hai tâm của mặt đế chính.
• Đường sinh của hình trụ là đường thẳng có cùng độ dài và song song với trục tọa độ.

Một số công thức hình trụ cơ bản

Hình trụ sở hữu nhiều tính năng vượt trội như khả năng chịu lực và khả năng chứa đựng không gian tốt hơn so với các hình dạng khác. Vì vậy, trong cuộc sống chúng ta gặp rất nhiều vật thể hình trụ như lon, cột, ống khói, ống dẫn,… Với hình học không gian này, người ta có thể tính được diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích lăng trụ, thể tích hình trụ. Dưới đây chúng tôi sẽ tổng hợp các công thức tính hình trụ để các bạn dễ hiểu:

Tính diện tích xung quanh

Công thức đầu tiên liên quan đến hình trụ là cách tính diện tích xung quanh, đó là diện tích của bề mặt xung quanh, không bao gồm mặt đáy. Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ là lấy chu vi mặt đáy nhân với chiều cao:

Sxq = 2.Π.RH

Trong đó:

• Sxq: Viết tắt cho vùng cụm từ xung quanh hình trụ.
• 2πr: Chu vi hình tròn ở đáy hình trụ (π = 3,14).
• h: Chiều cao của hình trụ cần tính.

Tính tổng diện tích

Trước khi học cách tính thể tích hình trụchúng ta học cách tính tổng diện tích. Tổng diện tích là diện tích xung quanh và diện tích đáy. Cách tính diện tích toàn phần của hình trụ là lấy diện tích xung quanh cộng với diện tích hai đáy.

STP = 2.Π.R² + 2πrh

Trong đó:

• STP: Viết tắt của tổng diện tích hình trụ.
• 2.Π.R²: Diện tích hình tròn đáy (π = 3,14).
• 2πrh: Diện tích xung quanh đáy hình trụ.

Khối lượng của xi lanh

Tính thể tích của hình trụ để biết có bao nhiêu không gian chứa đựng. Tính thể tích của hình trụ rất đơn giản, bạn chỉ cần nhân diện tích đáy với chiều cao.

V = Π.R².H

Trong đó:

• V: Thể tích của hình trụ cần tính.
• πr²: Diện tích đáy của hình trụ.
• h: Chiều cao của hình trụ.

Dựa vào công thức trên, có thể thấy thể tích của hình trụ phụ thuộc vào chiều cao, nửa đáy và số pi của nó. Bạn cần áp dụng đúng công thức để tính toán chính xác nhất.

Một số dạng bài tập về thể tích hình trụ

Theo công thức tính thể tích hình trụ có ba đại lượng gồm chiều cao, bán kính đáy và thể tích. Thể tích hình trụ có phần khó hiểu hơn nên chúng tôi sẽ dùng các bài tập minh họa cụ thể để các bạn tham khảo:

Bài 1

Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = a, góc BDC = 30 độ. Hãy xoay hình chữ nhật này quanh cạnh AD để tạo thành hình trụ. Yêu cầu tính diện tích xung quanh hình trụ đó?

Đối với bài tập hình học không gian, bạn cần vẽ hình dựa trên dữ liệu của bài toán. Đầu tiên vẽ một hình chữ nhật sau đó xoay hình chữ nhật quanh cạnh AD để tạo thành hình trụ như trên.

Theo đó, ta có nửa đường tròn đáy tính bằng AB = a

Độ cao của hình trụ bằng BC = CD.tan30 độ = a.1/√3 = a/√3

Từ đây ta sẽ suy ra diện tích xung quanh hình trụ sẽ bằng Sxq = 2rh = 2.3,14.a = a/√3= (2.3,14.a.2)/√3

Bài 2

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a, xét một hình trụ có đáy có đường tròn nội tiếp tam giác ABC, chiều cao bằng chiều cao của tứ diện. Tính diện tích xung quanh hình trụ đó?

Vì vậy, bài viết này yêu cầu tính diện tích xung quanh thay vì thể tích lăng trụ, thể tích hình trụ. Đầu tiên, ta gọi O là tâm của tam giác ABC và là trung điểm của cạnh BC M. Do đó, O sẽ là trọng tâm của đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp tam giác ABC vì đây là tam giác đều.

Ta có cạnh AM = AM.sinC = a.sin60 độ = a√3/2

AO = 2/3 giờ sáng

= 2/3 xa√3/2 = a√3/3

Tiếp theo, chúng ta sẽ tính chiều cao của khối tứ diện:

h = DO = √(DA2 – OA2)

= √(a2 – (a√3/3)2 = a√6/3

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC được tính như sau:

r = OM = AM/3 = a√3/6

Sau khi tính chiều cao và bán kính hình tròn ta sẽ tính diện tích xung quanh hình trụ:

Sxq = 2,3,14rh

= 2,3,14.a√3/6.a√6/3

= 3,14xa2√2/3

Bài 3

Cho một hình trụ có hai đáy tròn (O) và (O'), tại đường tròn lấy các điểm A và B sao cho góc giữa AB và đường tròn đáy là 45 độ và khoảng cách từ OO' là a√2/2. Hãy đếm thể tích hình trụ theo bán kính đáy a.

Đầu tiên ta đặt OO' = h rồi gọi các điểm I, E, D là trung điểm của các cạnh BC, BA, OO'.

Dựa vào điều này, chúng ta có d(AB,OO') = ED = IO' = a√2/2

Vì ABC là tam giác vuông tại C nên góc B bằng 45 độ -> ABC là tam giác vuông cân. Do đó cạnh BC = AC = h.

Chúng tôi có:

CO2=CI2+IO2

a2= (h/2)2 + (a√2/2)2

h=a√2

Dựa vào số liệu trên thì thể tích của hình trụ bằng V = πa2.a √2 = πa3√2

Câu trả lời cho các câu hỏi thường gặp

Đến đây chắc hẳn ai cũng biết cách tính thể tích hình trụ cũng như diện tích xung quanh và tổng diện tích của hình học này. Về cơ bản, việc tính thể tích hình trụ rất đơn giản, bạn cần nắm rõ công thức để giải các bài tập liên quan. Dưới đây chúng tôi sẽ giải đáp các câu hỏi thường gặp về xi lanh để bạn tham khảo!

Thể tích của hình trụ được sử dụng trong thực tế như thế nào?

Trong thực tế, hình trụ có rất nhiều ứng dụng như trong xây dựng, sản xuất, giáo dục,… Vì vậy, việc hiểu cách tính diện tích xung quanh, tổng diện tích và thể tích của hình trụ là vô cùng quan trọng. cần thiết. Cụ thể:

• Trong xây dựng cần tính thể tích của hình trụ để xác định lượng bê tông, xi măng, vật liệu gia cường lấp đầy khoảng trống bên trong.
• Trong công nghiệp, việc tính thể tích của một hình trụ giúp bạn biết nó có thể chứa được bao nhiêu chất lỏng, khí và khí.
• Trong sản xuất, khi thiết kế các chi tiết hình trụ cần tính toán thể tích để xác định dung tích, khối lượng của nó.
• Trong giáo dục, hình trụ là một trong những nội dung quan trọng của hình học không gian. Học sinh lớp 9 sẽ được tiếp xúc với dạng bài tập này và sau đó sẽ chuyển sang các lớp tiếp theo.

Một hình trụ có đáy không tròn có thể tính được thể tích của nó không?

Trong một số trường hợp, nếu hình trụ có đáy không tròn, bạn vẫn có thể tính được thể tích của nó. Bạn cần tìm diện tích đáy và chiều cao của hình trụ đó rồi tính thể tích lăng trụ, thể tích hình trụ như thường lệ.

Diện tích đáy của hình trụ sẽ tương ứng với diện tích của hình tương ứng, ví dụ nếu đáy hình trụ là hình vuông thì ta tính diện tích hình vuông bằng bình phương của đáy bên.

Chiều cao của hình trụ bằng khoảng cách từ đáy đến đỉnh hình trụ. Cuối cùng, chúng ta sẽ tính thể tích của hình trụ bằng cách nhân diện tích đáy với chiều cao. Lưu ý, nếu đáy của hình trụ không tròn thì sẽ lấy diện tích đáy tương ứng.

Bạn có thể tính thể tích của hình trụ bằng phương pháp khác không?

Ngoài công thức tính thể tích hình trụ ở trên, bạn có thể tính thể tích hình trụ bằng các đường cong, công thức tiếp tuyến, phương pháp cắt,… Tuy nhiên, các phương pháp tính thể tích hình trụ khác sẽ phức tạp. phức tạp hơn. Một số phương pháp khác để tính thể tích hình trụ bao gồm:

Nếu hình trụ có thể tích bạn đang tìm có hình dạng đặc biệt như hình xoắn ốc, bạn có thể sử dụng tích phân để tìm thể tích. Theo đó, tích phân của hình xoắn ốc là thể tích của hình trụ cần tìm.

Nếu biết biểu thức đường cong của hình trụ thì có thể chọn công thức tiếp tuyến để tính thể tích.

Đối với những hình trụ có cạnh không đều, bạn có thể cắt, nối và chia chúng thành các hình đơn giản như hình tròn, hình tam giác, hình chữ nhật,… Tiếp theo, tính thể tích của từng hình rồi cộng chúng lại với nhau để tìm thể tích hình trụ ban đầu.

Lưu ý, tùy theo đặc điểm, hình dạng của trụ mà sử dụng phương pháp tính thể tích phù hợp. Thông thường, trong các bài tập trên lớp, giáo viên sẽ cho hình trụ cách tính thể tích bằng cách nhân chiều cao với bình phương bán kính đáy và số pi.

Việc đặt trọng tâm ở một vị trí khác có làm thay đổi thể tích của hình trụ không?

Khi đặt trọng tâm của hình trụ ở vị trí khác thì thể tích của nó không đổi. Qua thể tích hình trụ Nó chỉ phụ thuộc vào bán kính đáy và chiều cao nên việc thay đổi vị trí trọng tâm không có tác dụng. Tuy nhiên, sự thay đổi này sẽ ảnh hưởng đến tư thế và độ ổn định của xi lanh. Hãy nhớ điều này để không mắc lỗi trong các bài tập liên quan đến tính khối lượng nhé!

Kết luận tạm thời

Vì vậy chúng tôi đã hướng dẫn cách tính thể tích hình trụ để bạn tham khảo. Đây là nội dung quan trọng trong hình học không gian mà mọi người cần phải hiểu. Ngoài cách tính thể tích, chúng tôi còn hướng dẫn cách tính diện tích xung quanh và diện tích tổng của hình trụ. Hy vọng những thông tin trên giúp các bạn giải bài tập hình học một cách nhanh chóng. Chúc các bạn học tốt và đạt điểm cao môn Hình học không gian!

Hãy nhấn theo dõi fanpage Thác Trầm Hương Mobile và kênh Youtube Kênh sông Thác Trầm Hương Vì vậy bạn đừng bỏ lỡ những thông tin thú vị từ chúng tôi nhé!

XEM THÊM:

• Học công thức tính diện tích tam giác đều và đường cao của tam giác đều
• Công thức tính chu vi hình tứ giác: Lý thuyết, phương pháp toán và bài tập có lời giải