Lý thuyết về căn bậc 2, cách tính căn bậc 2

Căn bậc hai là một lý thuyết quan trọng mà học sinh sẽ gặp phải trong những năm cuối cấp hai. Nếu không nắm vững cách tính căn bậc hai, bạn sẽ không thể giải được những bài toán khó hơn liên quan đến kiến ​​thức. công thức này. Vậy căn bậc hai là gì? Công thức tính căn bậc hai? Hãy cùng Thác Trầm Hương Mobile tìm hiểu qua bài viết chia sẻ dưới đây nhé!

Lý thuyết

Trước khi tìm hiểu các cách tính căn bậc hai, chúng ta cùng tìm hiểu khái niệm của lý thuyết này.

Căn bậc hai 2

Dưới đây là một số lý thuyết về căn bậc hai:

Ý tưởng

Căn bậc hai của số a (a là số không âm) là số x. Trong đó x phải đúng với điều kiện x2 = a.

Khai triển rộng ra, ta có A là biểu thức đại số bất kỳ, khi đó căn bậc hai của A (√A) là căn bậc hai của biểu thức đó và A được hiểu là biểu thức nằm dưới gốc (hay biểu thức căn). . Tương tự, A chỉ có ý nghĩa khi nó là biểu thức không âm.

Căn bậc hai là kiến ​​thức toán học quen thuộc trong chương trình lớp 9

Cho a > = 0, ta có:

• Nếu: x = √a ⇔ x > 0 và x² = a
• Nếu: x > = 0 và x² = a ⇔ x = √a

Như vậy ta có cách tính căn bậc hai: x = √a ⇔ x > = 0 và x² = a.

So sánh căn bậc hai

Trường hợp bạn có 2 số a và b đều là số không âm và a < b thì: √a < √b

Lưu ý, trong đó A là biểu thức ⇔ √(A²) = |A|:

• √(A²) = A nếu A ≥ 0
• √(A²) = – A với A < 0

Dưới đây là một số phép biến đổi bạn cần lưu ý để giải các bài toán chứa biểu thức liên quan đến căn bậc hai:

• √A = B ⇔ B ≥ 0 và A = B²
• √(A²) = B ⇔ |A| =B
• √(A²) = √(B²) ⇔ |A| = |B| ⇔ A = B hoặc – B
• √(A) = √(B) ⇔ A ≥ 0 (B ≥ 0) và A = B.

Thuộc tính căn bậc hai

Các bạn cần lưu ý một số tính chất quan trọng để áp dụng phép tính căn bậc hai như:

• Căn bậc hai của số âm không tồn tại, tức là chỉ có căn bậc hai của số không âm, số âm không có căn bậc hai.
• Căn bậc hai của 0 chính là chính nó: √0 = 0.
• Bất kỳ số thực không âm nào ( ≥0) chỉ có một căn bậc hai không âm.
• Một số dương sẽ bao gồm 2 và chỉ có 2 căn bậc hai gồm các số trái dấu (số đối nhau), số dương là √a (căn bậc hai dương) và số âm là -√a (căn bậc hai âm).
• Căn bậc hai cũng có thể được biểu thị dưới dạng lũy ​​thừa: a^(½) cho số dương.

Căn bậc hai số học

Dưới đây là một số lý thuyết liên quan đến căn bậc hai số học:

Ý tưởng

Đối với bất kỳ số dương nào (được gọi là a), căn bậc hai số học của a sẽ được biểu thị bằng √a. Trong toán học, có một trường hợp đặc biệt khi số 0 là căn bậc hai số học của chính nó.

Đối với bất kỳ số dương nào, căn bậc hai số học của a sẽ được biểu thị bằng √

Với ≥ 0:

• x = √a ⇔ x ≥ 0 và x² = a.
• x ≥ 0 và x² = a ⇔ x = √a

Khi so sánh, ta có: a và b là hai số không âm: a > b ⇔ √a > √b

Ví dụ về tính căn bậc hai của số học:

• Căn bậc hai số học của 25 là √25 = √5² = 5
• Tìm căn bậc hai số học của 25, 64, 100, 121 và 10000: √25 = 5, √64 = 8, √100 = 10, √121 = 11, √10000 = 100.

Căn bậc hai của số nguyên dương

Số nguyên dương có 2 căn bậc hai là 2 số đối nhau (các số có dấu trái dấu, ví dụ √a và -√a). Tuy nhiên, khi nhắc đến căn bậc hai của một số nguyên dương, chúng ta thường hiểu nó là căn bậc hai dương.

Căn bậc hai của một số nguyên dương sẽ bằng căn bậc hai của tích các thừa số nguyên tố: √(axb) = √ax √b (ví dụ: √12 = √(6 x 2) = √6 x √2

Bảng dưới đây là căn bậc hai của các số tự nhiên từ 0 – 10:

Căn bậc hai của số phức, số âm

Mọi số (dù âm hay dương) khi bình phương sẽ cho ra số dương, chỉ có 0 bình phương vẫn là 0, và thực tế không có số âm nào có căn bậc hai mà nó chỉ tồn tại trong tập hợp số phức.

Phương pháp mở

Để áp dụng phép tính căn bậc hai, bạn cần hiểu rõ về phép tính căn bậc hai. Trích xuất bình phương được hiểu là một dạng toán tìm căn bậc hai số học của một số lớn hơn 0 ( ≥0 hoặc số không âm).

Trích xuất bình phương được sử dụng rộng rãi trong các bài toán căn bậc hai

Ví dụ: Cho a ≥ 0 và (a)² = 25 thì ta tính được a = ±√25

Một số lưu ý cần nhớ khi áp dụng phép tính căn bậc hai

Một số dạng bài toán lớp 9 cần áp dụng phép tính căn bậc hai

Dưới đây là một số dạng bài toán liên quan đến căn bậc hai mà học sinh sẽ gặp trong chương trình toán Đại số lớp 9. Thông thường lời giải sẽ chỉ xoay quanh lý thuyết và tính chất của căn bậc hai và một. số hằng số đẳng thức liên quan. Vì vậy, điều quan trọng nhất là bạn phải nắm vững những kiến ​​thức cơ bản để có thể giải được những bài toán nâng cao hơn:

Dạng thứ nhất: Tìm và so sánh 2 căn bậc hai

Với dạng toán này, bài toán thường yêu cầu bạn tìm một trong hai số hoặc so sánh cạnh nào của biểu thức lớn hơn. Để làm điều này, bạn chỉ cần nắm vững biểu thức sau:

a > b ⇔ √a > √b

Trong đó a và b đều lớn hơn hoặc bằng 0 (hai số không âm).

Dạng thứ hai: Tìm giá trị biểu thức chứa căn bậc hai

Ở dạng này, bạn cần áp dụng phép tính căn bậc hai với đẳng thức cơ bản sau:

Chúng tôi có:

• Nếu A ≥ 0 => √A² = |A| =A
• Nếu A < 0 => √A² = |A| = – Một

Dạng thứ ba: Rút gọn biểu thức

Biểu mẫu này sẽ yêu cầu bạn đơn giản hóa phần biểu thức chứa căn bậc hai. Đây là dạng bài toán lớp 9 tương đối khó và các em cần vận dụng một số hằng đẳng thức liên quan để giải bài toán như:

• a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2
• a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2
• Nếu A ≥ 0 => √A² = |A| = A hoặc A < 0 => √A² = |A| = – Một

Dạng thứ tư: Tìm điều kiện thỏa mãn phần biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa

Loại toán này yêu cầu người dùng tìm các điều kiện để biểu thức cơ bản có ý nghĩa. Nếu bạn muốn biểu thức bên dưới căn thức có ý nghĩa thì nó phải có giá trị không âm. Khi đó ta có: √A chỉ có ý nghĩa khi A ≥ 0.

Dạng thứ năm: Giải phương trình (biểu thức) chứa căn bậc hai

Biểu mẫu này sẽ yêu cầu bạn giải một phương trình trong đó biểu thức chứa căn bậc hai. Đến đây các bạn đã nắm vững và vận dụng tốt các kiến ​​thức cơ bản sau:

• √A = B ⇔ B ≥ 0 và A = B².
• √A² = B ⇔ |A| =B.
• √A = √B ⇔ A ≥ 0 (B ≥ 0) và A = B.
• √A2 = √B2 ⇔ |A| = |B| ⇔ A = ± B.

Mẹo đơn giản để tìm căn bậc hai, không cần máy tính

Ngoài những lý thuyết và cách tính căn bậc hai bằng một số dạng quen thuộc ở trên, các bạn cũng có thể áp dụng những thủ thuật hay dưới đây để tìm căn bậc hai mà không cần máy tính. Đây là cách rèn luyện tư duy khá hiệu quả, giúp bạn phản ứng nhanh hơn với các con số và thực hiện các phép tính một cách đơn giản và dễ dàng nhất.

Mẹo tính căn bậc hai của một số nguyên

Tính căn bậc hai của một số nguyên thường đơn giản và dễ thực hiện hơn nhiều so với tính toán không phải số nguyên. Để tìm căn bậc hai của một số nguyên không cần máy tính, bạn có thể áp dụng một trong hai phương pháp sau:

Cách tính căn bậc hai bằng cách nhân

Được biết, căn bậc hai của a là số b, số này khi nhân số đó với chính nó (tức là bxb) sẽ bằng số a ban đầu. Ví dụ: √25 = √(5 x 5) = 5. Lúc này, bạn có thể tự hỏi, có số nào bạn có thể nhân với chính nó để có được số mình có không?

Ví dụ: Căn bậc hai của 1 = 1 (vì 1 x 1 = 1), nhưng căn bậc hai của 25 là 5 (vì 5 x 5 = 25). Tương tự, căn bậc hai của 4 là 2, của 9 là 3, của 16 là 4, của 36 là 6, của 49 là 7…

Bạn vẫn có thể tìm căn bậc hai của một số nguyên mà không cần máy tính

Cách tính căn bậc hai bằng cách chia

Tương tự, bạn cũng có thể sử dụng phép chia để tìm căn bậc hai bằng cách chia các số nguyên bạn có cho các số khác cho đến khi kết quả là thương bằng chính số chia. Ví dụ: 16/4 = 4, 25/5 = 5, 4/2 = 2…

Mẹo tìm căn bậc hai của các số khác

Không phải lúc nào bạn cũng nhận được một bài toán về số nguyên. Vậy nếu nó không phải là số nguyên thì sao? Các bước thực hiện sẽ khó khăn hơn một chút nhưng bạn vẫn có thể thực hiện bằng cách:

Tính căn bậc hai của một số không nguyên phức tạp hơn một chút

Cách tính căn bậc hai bằng phương pháp loại trừ

Bạn có thể hình dung qua ví dụ sau:

Bạn cần tìm căn bậc hai của 20. Trong đó ta có căn bậc hai của 20 có giá trị nằm giữa căn bậc hai của 25 và 16 với giá trị lần lượt là 5 và 4. Vì vậy, hãy ước tính căn bậc hai của 20 có thể bằng 4,5. Bây giờ, bạn lấy 4,5 x 4,5, đáp án sẽ lớn hơn 20 nên bạn có thể giảm xuống còn 4,4. Trong trường hợp kết quả là số nhỏ hơn thì bạn cũng có thể tăng lên một chút.

4,4 x 4,4 sẽ là 19,36, lúc này phạm vi sẽ được thu hẹp xuống khoảng 4,5 – 4,4. Khi bạn ước tính khoảng 4.445, nhân chúng với nhau sẽ cho kết quả gần bằng 20. Tiếp tục cho đến khi bạn đạt đến số gần 20 nhất, tức là 4.475 (kết quả 20,03), đây là kết quả gần đúng sau. khi làm tròn.

Cách tính căn bậc hai bằng phương pháp trung bình

Để tính căn bậc hai bằng phương pháp trung bình, bạn cần chọn 2 số chính phương gần nhất với số đã cho, sau đó lấy số đã cho (gọi là x) chia cho căn bậc hai của số chính phương đã chọn (gọi là y). ). Lúc này, bạn sẽ thu được số z, tính trung bình cộng của y và z để được số n, sau đó lặp lại quá trình trên cho đến khi tìm được một số (gọi là h) mà khi ta lấy hxh sẽ ra một số gần bằng x.

Phương pháp này khá phức tạp nhưng bạn có thể hiểu nó dễ dàng hơn qua ví dụ sau:

Ví dụ, để tìm căn bậc hai của số 10, chúng ta thực hiện phép tính sau:

• Chọn số chính phương gần 10 nhất là 9.
• Chúng ta sẽ chia 10 cho căn bậc hai của 9 và nhận được kết quả là 3,33.
• Tiếp tục tìm số trung bình giữa 3 và 3,33, ta có 3,1667.
• Lặp lại quá trình trên bằng cách chia 10 cho 3,1667 và tìm giá trị trung bình.
• Bây giờ bạn kiểm tra lại kết quả bằng cách lấy 3,1667 x 3,1667 được 10,001 => đây là kết quả cuối cùng.

Phần kết luận

Đó là lý thuyết và cách tính căn bậc hai mà bạn có thể tham khảo. Trong chương trình toán THCS, loại bài tập này khá khó và có nhiều bài toán nâng cao. Vì vậy, hãy nắm bắt những kiến ​​thức cơ bản để dễ dàng chinh phục nội dung kiến ​​thức này nhé!

Xem thêm:

• Cách giải phương trình bậc hai nhanh nhất
• Công thức tính diện tích hình chữ nhật chính xác nhất