Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Phương trình hằng số là những công thức toán học được sử dụng thường xuyên giúp chúng ta giải các bài toán nhanh và chính xác hơn. Trong chương trình toán THCS có 7 phương trình dễ nhớ có vai trò cực kỳ quan trọng, được coi là “chìa khóa” chinh phục môn đại số và 7 phương trình này bao gồm:

• Hình vuông của sự khác biệt
• Bình phương của một tổng
• Sự khác biệt của hai hình vuông
• Khối của một tổng
• Khối hiệu ứng
• Tổng của hai khối
• Sự khác biệt của hai khối

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết từng đẳng thức, bao gồm công thức, chứng minh, ví dụ minh họa và bài tập ứng dụng. Qua đó, bạn sẽ nắm vững kiến ​​thức và có khả năng sử dụng thành thạo các phương trình này trong quá trình học.

7 hằng số đáng nhớ

Trong danh sách các công thức toán học cần nhớ, 7 hằng số là một trong những quy tắc mà chúng ta cần ghi nhớ. Với những bài toán khó, những bài toán có biểu thức dài và có thể thay đổi, những phương trình này sẽ giúp chúng ta khắc phục lỗi, từ đó giảm bớt độ khó một chút và giúp chúng ta giải bài toán một cách nhanh chóng. cách dễ dàng hơn. Thông qua nội dung chi tiết của từng phương trình trong nội dung dưới đây, các bạn hãy ghi chú và thực hiện các bài tập kèm theo để nắm chắc 7 phương trình.

Bình phương không đổi của hiệu

1. Công thức HĐT bình phương sai phân:

Bình phương hiệu của hai số a và b được viết là: (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2

2. Cách chứng minh hệ số bình phương của hiệu

Cách 1: Sử dụng khai triển trực tiếp

(a – b)2 = (a – b)(a – b)

= a2 – ab – ab + b2

= a2 – 2ab + b2

Cách 2: Sử dụng hình vuông

Vẽ một hình vuông có các cạnh (a – b). Chia hình vuông thành 4 hình vuông nhỏ, 1 hình vuông lớn cạnh a và 3 hình vuông nhỏ cạnh b.

Diện tích hình vuông lớn là: (a – b) 2

Diện tích 4 hình vuông nhỏ là: a2 + b2 + b2 + b2

Suy ra: (a – b) 2 = a 2 + b 2 + b 2 + b 2 – a 2

= a2 – 2ab + b2

3. Bài toán liên quan đến công thức HĐT bình phương sai phân

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: (x – 2)² – (x – 3)²

Phần thưởng:

(x – 2) 2 – (x – 3) 2 = (x 2 – 4x + 4) – (x 2 – 6x + 9)

= x 2 – 4x + 4 – x 2 + 6x – 9

= 2x – 5

Bài toán 2: Chứng minh rằng: (a – b)² ≥ 0

Phần thưởng:

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2

= a2 – 2ab + b2 + 2ab – b2

= (a – b) 2 + 2ab – b 2

Vì (a – b)2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi a, b.

Do đó, (a – b) 2 + 2ab – b 2 ≥ 0

Suy ra: (a – b)² ≥ 0

Bài 3: Tìm giá trị của x sao cho biểu thức: Q = x² – 8x + 17 có giá trị nhỏ nhất.

Phần thưởng:

Q = x² – 8x + 17

= (x² – 8x + 16) + 1

= (x – 4)2 + 1

Vì (x – 4)2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x.

Do đó, Q = (x – 4)2 + 1 luôn lớn hơn hoặc bằng 1.

Dấu “=” xuất hiện khi x = 4.

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 1 khi x = 4.

Bình phương không đổi của một tổng

1. Công thức HĐT bình phương của tổng:

Bình phương của tổng hai số a và b được viết là: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Cách chứng minh hệ số bình phương của một tổng

Cách 1: Sử dụng khai triển trực tiếp

(a + b)2 = (a + b)(a + b)

= a2 + ab + ab + b2

= a2 + 2ab + b2

Cách 2: Sử dụng hình vuông

Vẽ một hình vuông có cạnh (a + b). Chia hình vuông thành 4 hình vuông nhỏ, mỗi hình vuông có cạnh a và b.

Diện tích của một hình vuông lớn là: (a + b)²

Diện tích 4 hình vuông nhỏ là: a2 + a 2 + b 2 + b 2

Suy ra: (a + b) 2 = a 2 + a 2 + b 2 + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

3. Bài toán liên quan đến công thức HĐT bình phương của tổng

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: (x + 3)² – (x – 2)²

Phần thưởng:

(x + 3) 2 – (x – 2) 2 = (x 2 + 6x + 9) – (x 2 – 4x + 4)

= x 2 + 6x + 9 – x 2 + 4x – 4

= 10x + 5

Bài toán 2: Chứng minh rằng: (a + b)² ≥ 4ab

Phần thưởng:

(a + b) 2 – 4ab = a 2 + 2ab + b 2 – 4ab

= a2 – 2ab + b2

= (a – b)2 ≥ 0

Vì (a – b)2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi a, b.

Do đó, (a + b)² – 4ab ≥ 0

Suy ra: (a + b)² ≥ 4ab

Bài toán 3: Tìm giá trị của x sao cho biểu thức: P = x² – 4x + 5 đạt giá trị nhỏ nhất.

Phần thưởng:

P = x² – 4x + 5

= (x² – 4x + 4) + 1

= (x – 2)2 + 1

Vì (x – 2)2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x.

Do đó, P = (x – 2)2 + 1 luôn lớn hơn hoặc bằng 1.

Dấu “=” xuất hiện khi x = 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi x = 2.

Sự khác biệt không đổi của hai hình vuông

1. Công thức HĐT hiệu hai bình phương:

Hiệu hai bình phương của hai số a và b được viết là: a2 – b2 = (a – b)(a + b)

2. Cách chứng minh HĐT là hiệu của hai bình phương

Cách sử dụng mở rộng trực tiếp:

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

= a2 + ab – ab – b2

3. Bài toán liên quan đến sự khác biệt của công thức hai bình phương

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: (x + 5)² – (x – 2)²

Phần thưởng:

(x + 5)2 – (x – 2)2 = ((x + 5) – (x – 2))((x + 5) + (x – 2))

= (x + 5 – x + 2)(x + 5 + x – 2)

= 7(2x + 3)

= 14x + 21

Bài toán 2: Chứng minh rằng: (a + b) 2 – (a – b) 2 = 4ab

Phần thưởng:

(a + b)2 – (a – b)2 = ((a + b) – (a – b))((a + b) + (a – b))

= (a 2 + 2ab + b ) – (a 2 – 2ab + b )

= a 2 + 2ab + b 2 – a 2 + 2ab – b 2

= 4ab

Bài 3: Tính 56,64

Giải: Ta có 56,64 = (60 – 4)(60 + 4) = 60² – 4² = 3600 – 16 = 3584

Bài 4: Tính (x – 2)(x + 2)

Giải: (x – 2)(x + 2) = x² – 2² = x² – 4

Nhận dạng khối không đổi của một tổng

1. Công thức HĐT lập phương của tổng:

Lập phương của tổng hai số a và b được viết là: (a + b)³ = a³ + 3a2b + 3ab2 + b³

2. Cách chứng minh lập phương của một tổng

Cách sử dụng mở rộng trực tiếp

(a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b)

= a³ + a2b + a2b + ab2 + ab2 + b³

= a³ + 3a2b + 3ab2 + b³

3. Bài toán liên quan đến công thức tính tổng HDT lập phương

Vấn đề 1:

Tính giá trị của biểu thức: (x – 2)³ + (x + 1)³

Phần thưởng:

(x – 2)³ + (x + 1)³ = (x³ – 6x² + 12x – 8) + (x³ + 3x² + 3x + 1)

= x³ – 6×2 + 12x – 8 + x³ + 3×2 + 3x + 1

= 2x³ – 3x² + 15x – 7

Bài toán 2: Chứng minh rằng:

(a + b)³ – a³ – b³ = 3a2b + 3ab2

Phần thưởng:

(a + b)³ – a³ – b³ = (a³ + 3a2b + 3ab2 + b³) – a³ – b³

= a³ + 3a2b + 3ab2 + b³ – a³ – b³

= 3a2b + 3ab2

Bài 3: Tìm giá trị của x sao cho biểu thức: P = x³ – 9x² + 27x – 27 đạt giá trị nhỏ nhất.

Phần thưởng:

P = x³ – 9x² + 27x – 27

= (x³ – 9x² + 27x – 27) + 1

= (x – 3)³ + 1

Bởi vì (x – 3)³ luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x.

Do đó, P = (x – 3)³ + 1 luôn lớn hơn hoặc bằng 1.

Dấu “=” xuất hiện khi x = 3.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi x = 3.

Nhận dạng khối không đổi của một sự khác biệt

1. Công thức HĐT lập phương của sai phân:

Công thức:

Lập phương của hiệu của hai số a và b được viết là: (a – b)³ = a³ – 3a2b + 3ab2 – b³

2. Cách chứng minh lập phương sai phân

Cách sử dụng mở rộng trực tiếp

(a – b)³ = (a – b)(a – b)(a – b)

= a³ – ab – ab + b2 – ab – b2 – b³

= a³ – 3a2b + 3ab2 – b³

3. Bài toán liên quan đến công thức lập phương HDT của sai phân

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: (x + 3)³ – (x – 2)³

Phần thưởng:

(x + 3)³ – (x – 2)³ = (x³ + 9x² + 27x + 27) – (x³ – 6x² + 12x – 8)

= x³ + 9x² + 27x + 27 – x³ + 6x² – 12x + 8

= 15×2 + 15x + 35

Bài toán 2: Chứng minh rằng: (a – b)³ + a³ – b³ = 3a²b – 3ab²

Phần thưởng:

(a – b)³ + a³ – b³ = (a³ – 3a2b + 3ab2 – b³) + a³ – b³

= a³ – 3a2b + 3ab2 – b³ + a³ – b³

= 3a2b – 3ab2

Tổng không đổi của hai khối

1. Công thức tính tổng HĐT của hai lập phương:

Công thức:

Tổng lập phương của hai số a và b được viết là: a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

2. Cách chứng minh DDT là tổng của hai lập phương

Cách sử dụng mở rộng trực tiếp

a³ + b³ = (a + b)(a2 – ab + b2)

= a³ + a2b – ab2 + ab2 + b³

= a³ + b³

3. Bài toán liên quan đến công thức HĐT tính tổng hai lập phương

Vấn đề 1:

Tính giá trị của biểu thức: (x – 1)³ + (x + 2)³

Phần thưởng:

(x – 1)³ + (x + 2)³ = (x³ – 3x² + 3x – 1) + (x³ + 6x² + 12x + 8)

= x³ – 3x² + 3x – 1 + x³ + 6x² + 12x + 8

= 2x³ + 3x² + 15x + 7

Bài 2: Chứng minh rằng: a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

Phần thưởng:

Cách 1:

• Xét a = 0 và b = 0, ta có: 0³ + 0³ = (0 + 0)(0² – 0.0 + 0²)

=> 0 = 0,02 = 0

• Xét a = 1 và b = 1, ta có: 1³ + 1³ = (1 + 1)(1² – 1.1 + 1²)

=> 2 = 2,1² = 2

• Xét a = -1 và b = -1, ta có: (-1)³ + (-1)³ = (-1 + -1)(-1² – (-1).(-1) + (-1 ) )²)

=> -2 = -2,12 = -2

• Xét a = a và b = -a, ta có: a³ + (-a)³ = (a + (-a))(a² – a.(-a) + (-a)²)

=> 0 = 0.a² = 0

Vì các trường hợp trên đều đúng nên chúng ta có thể kết luận rằng:

a³ + b³ = (a + b)(a2 – ab + b2)

Cách 2:

• Ta có: (a – b)³ = a³ – 3a2b + 3ab2 – b³

=> a³ + b³ = (a – b)³ + 3a²b – 3ab²

= (a – b)(a2 – ab + b2) + 3ab(a – b)

= (a – b + 3ab)(a2 – ab + b2)

• Xét a + 3ab = 0, ta có: a³ + b³ = (a – b + 3ab)(a² – ab + b2) = 0

=> a³ = -b³

=> a = -b

• Xét a + 3ab ≠ 0, ta có: a³ + b³ ≠ 0

=> a – b ≠ 0

=> a2 – ab + b2 ≠ 0

=> (a – b + 3ab)(a2 – ab + b2) ≠ 0

Vì vậy, chúng ta có thể kết luận rằng:

a³ + b³ = (a + b)(a2 – ab + b2)

Sự khác biệt không đổi của hai hình khối

1. Công thức HĐT chênh lệch hai lập phương:

Công thức: Hiệu lập phương của hai số a và b được viết là: a³ – b³ = (a – b)(a2 + ab + b2)

2. Cách chứng minh HĐT là hiệu của hai lập phương

Cách sử dụng mở rộng trực tiếp

a³ – b³ = (a – b)(a2 + ab + b2)

= a³ – ab – ab + b2 + ab + b³

= a³ – b³

3. Bài toán liên quan đến công thức HĐT sai phân hai lập phương

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: (x + 2)³ – (x – 1)³

Phần thưởng:

(x + 2)³ – (x – 1)³ = (x³ + 6x² + 12x + 8) – (x³ – 3x² + 3x – 1)

= x³ + 6x² + 12x + 8 – x³ + 3x² – 3x + 1

= 9×2 + 9x + 9

= 9(x2 + x + 1)

Bài toán 2: Chứng minh rằng: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Cách 1:

• Xét a = 0 và b = 0, ta có: 0³ – 0³ = (0 – 0)(0² + 0.0 + 0²)

=> 0 = 0,02 = 0

• Xét a = 1 và b = 1, ta có: 1³ – 1³ = (1 – 1)(1² + 1.1 + 1²)

=> 0 = 0,1² = 0

• Xét a = -1 và b = -1, ta có: (-1)³ – (-1)³ = (-1 – (-1))(-12 – (-1).(-1) + ( -1)2)

=> 0 = 0,1² = 0

• Xét a = a và b = -a, ta có: a³ – (-a)³ = (a – (-a))(a² – a.(-a) + (-a)²)

=> 2a³ = 2a.a2 = 2a³

=> 0 = 0

Vì các trường hợp trên đều đúng nên chúng ta có thể kết luận rằng:

a³ – b³ = (a – b)(a2 + ab + b2)

Cách 2:

• Ta có: (a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2

= a2 – b2

• Thay b = -a, ta có:

(a + (-a))(a – (-a)) = a2 – (-a) 2

= a2 – a2

= 0

• Vì (a + b)(a – b) = a³ – b³ nên ta có:

a³ – b³ = 0

=> a³ – b³ = (a – b)(a2 + ab + b2)

Ứng dụng 7 đẳng thức đáng nhớ

Với các hằng số dễ nhớ, chúng ta có thể áp dụng chúng khi giải một số dạng bài tập toán như sau:

• Áp dụng trực tiếp sử dụng hằng số đẳng thức để thực hiện các phép tính và tính giá trị của biểu thức số.
• Áp dụng hằng số để đơn giản biểu thức và chứng minh đẳng thức.
• Ứng dụng hằng số đẳng thức để giải bài toán tìm giá trị của biến và xác định hệ số của đa thức.
• Áp dụng để tính giá trị biểu thức với các biến có điều kiện.
• Chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đại số.
• Áp dụng hằng số để giải một số bài toán số học và tổ hợp.

Phần kết luận

Phương trình hằng số là công cụ quan trọng giúp chúng ta giải các bài toán một cách nhanh chóng và chính xác. Việc nắm vững và sử dụng thành thạo các phương trình sẽ giúp bạn học tập hiệu quả hơn khi các bài toán sẽ được “hạ gục” một cách khéo léo. Qua nội dung tổng hợp trên của Thác Trầm Hương Mobile hy vọng bạn đọc đã kịp thời ghi nhớ và sử dụng thành công các quy tắc tính toán này. Đây được xem là phần kiến ​​thức cơ bản cần phải nắm vững nên hãy cố gắng ghi nhớ hết nhé!

XEM THÊM:

• Công thức tính diện tích hình bình hành 2023 chính xác nhất và bài tập
• Tính chất của trọng tâm và cách xác định trọng tâm của tam giác trong Hình học